赋范空间 赋范空间的完备性
柯西序列
根据收敛序列的定义，若 lim n → ∞ x n = x 0 \lim_{n \to \infty}x_n=x_0 limn→∞xn=x0，则只要项数充分大， { x n } \{x_n\} {xn} 的任意两项之间的距离就可以任意小，可以描述为:
∥ x m − x n ∥ → 0 ( m , n → ∞ ) \|x_m-x_n\| \to 0 \quad (m,n \to \infty) ∥xm−xn∥→0(m,n→∞)
具备上面特征的序列称为柯西序列，也就是说收敛序列必定是柯西序列。
当 { x n } \{x_n\} {xn} 是实数列或者复数列的时候柯西序列一定收敛，但是当 { x n } \{x_n\} {xn} 是有理序列的时候，柯西序列不一定收敛，比如 ( 1 , 1.4 , 1.414 , ⋯ ) (1,1.4,1.414,\cdots) (1,1.4,1.414,⋯)
可以通过柯西序列是否收敛来定义一般赋范空间的完备性。
定义
柯西序列的定义
设 { x n } \{x_n\} {xn} 是 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X, \|\cdot\|) (X,∥⋅∥) 中的序列，若 ∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N \forall \epsilon > 0, \exist N \in \mathbb{N} ∀ϵ>0,∃N∈N，使得只要 m , n > N m,n>N m,n>N，就有
∥ x m − x n ∥ < ϵ \|x_m-x_n\|< \epsilon ∥xm−xn∥<ϵ
就称 { x n } \{x_n\} {xn} 是 ( X , ∥ ⋅ ∥ ) (X, \|\cdot\|) (X,∥⋅∥) 中的柯西序列或基本序列。
收敛必是柯西序列，柯西序列不一定收敛
范数的等价性在柯西序列上的体现
对等价范数而言， { x n } \{x_n\} {xn}如果在其中一个范数上是柯西序列，那么在他的所有其他等价范数上也是柯西序列
柯西序列的性质
- 柯西序列一定是有界序列
- 如果柯西序列的一个子序列收敛，那么柯西序列就是收敛的
Banach（巴拿赫）空间
如果赋范空间 X X X 中任意一个柯西序列都收敛，则称 X X X 是完备的，完备的赋范空间又叫Banach空间。
例如 ( Q ， ∣ ⋅ ∣ ) (\mathbb{Q}，|\cdot|) (Q，∣⋅∣)是不完备的。
下面的例子也是不完备的例子
R \mathbb{R} R 和 C \mathbb{C} C 都是完备的
范数的等价性在完备性上的体现
设 ∥ ⋅ ∥ α \|\cdot\|{\alpha} ∥⋅∥α 和 ∥ ⋅ ∥ β \|\cdot\|{\beta} ∥⋅∥β 是线性空间 X X X 上的等价范数， 则 ( X , ∥ ⋅ ∥ α ) (X, \|\cdot\|{\alpha}) (X,∥⋅∥α) 完备当且仅当 ( X , ∥ ⋅ ∥ β ) (X, \|\cdot\|{\beta}) (X,∥⋅∥β) 完备。
常见赋范空间的完备性
R n 、 C n \mathbb{R}^n、\mathbb{C}^n Rn、Cn 都是完备的
( l 2 , ∥ ⋅ ∥ 2 ) (l^2, \|\cdot\|_2) (l2,∥⋅∥2) 是巴拿赫空间
( C a , b ， ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (Ca,b，\|\cdot\|_{\infty}) (Ca,b，∥⋅∥∞) 是巴拿赫空间
重要结论
有限维空间的完备性
有限维赋范空间都是完备的，任何赋范空间的有限维子空间都是巴拿赫空间
子空间的完备性
巴拿赫空间的子空间不一定是巴拿赫空间
例如 ( C a , b ， ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (Ca,b，\|\cdot\|{\infty}) (Ca,b，∥⋅∥∞)是巴拿赫空间，但其子空间 ( P a , b ， ∥ ⋅ ∥ ∞ ) (Pa,b，\|\cdot\|{\infty}) (Pa,b，∥⋅∥∞) 不完备。
赋范空间完备的充要条件
赋范空间 X X X 完备的充要条件是： X X X 中每一个绝对收敛的级数 都收敛
有限维赋范空间中每一个绝对收敛的级数都收敛