一. CRC基本原理
1.1 模二运算
**·**模二加法和模二减法的结果是相同的，并且与异或(XOR)运算的结果是一致的。
· 奇数个1相加得1，偶数个1相加得0
· 模二乘除法和普通乘除法一样演算，唯一的区别是，模二乘法在部分积相加时按模二加，模二除法部分余数相减时按模二减
这里重点关注模二除法，因为它与CRC算法密切相关，它有三个性质
- 当最后余数的位数小于除数位数时，除法停止
2.当被除数的位数小于除数位数时，则商数为0，被除数就是余数
3.只要被除数或部分余数的位数与除数一样多，且最高位为1，不管其他位是什么数，皆可商1
1.2 二进制系数多项式
对任意的二进制都构造与其对应的一个二进制系数多项式。
例如：10011B，其对应的二进制系数多项式为P ( x ) = x 4 + x + 1 P(x)=x^{4}+x+1P(x)=x
4+x+1
CRC算法中，对于二进制都是以二进制系数多项式去描述的
1.3 CRC算法
CRC算法的基本思想就是将传输的数据当作一个位数很长的数 。将这个数模二除以另一个数，得到的余数作为校验数据附加到原数据后面
实际应用时，发送方和接收方按以下方式通信
- 发送方和接收方在通信前，约定好一个预设整数作为除数
2.发送方在发送前根据原始数据和约定好的除数进行模二除法 运算运算生成余数(CRC码)，然后将其附加到原始数据后面一起发送给接收方
3.接收方收到后将其模二除以约定好的除数，当且仅当余数为0时接收方认为没有差错。
1.4 CRC工作原理
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生成多项式：CRC 使用一个生成多项式（通常用二进制数表示），这是计算 CRC 码的基础。常见的生成多项式有 CRC-8、CRC-16 和 CRC-32 等。
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数据多项式 ：原始数据被看作是一个二进制多项式，例如二进制数据
1011001可以表示为多项式 x6+x4+x3+1 -
模二除法：发送方将数据多项式与生成多项式做模二除法（即不带进位的二进制除法，按位进行异或）。余数即为 CRC 校验码，它会被附加到数据后面一起发送。
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校验：接收方接收数据和 CRC 校验码，并使用相同的生成多项式对接收到的整体数据进行模二除法。如果余数为 0，数据是无错的；如果余数非 0，说明数据在传输过程中出现了错误。
1.5 CRC计算
1.5.1 逐位计算
步骤 1：附加零位
将数据后面附加 4 个零位（对应生成多项式的位数减去 1）
步骤 2：模二除法
步骤 3：生成 CRC 码
步骤 4：接收方验证
1.5.2 查找表方法
步骤1：预处理多项式
CRC 算法使用一个生成多项式来表示数据块的二进制多项式
步骤2：对于每个可能的输入字节（即 0 到 255），计算它与生成多项式的余数（CRC）。这样就可以通过表格直接查找而不必每次都重新计算。