【优选算法篇】前缀之美,后缀之韵:于数列深处追寻算法的动与静

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C++ 前缀和详解:进阶题解与思维分析

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前言

在前一篇文章中,我们讨论了前缀和的基本概念及其基础应用,展示了如何利用前缀和快速解决数组区间求和问题。在这篇文章中,我们将继续深入探讨前缀和的更多应用,尤其是在解决一些中级难度问题中的实用性和效率提升。


第二章:前缀和进阶应用

2.1 和为 k 的子数组(medium)

题目链接560. 和为 K 的子数组

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ,请你统计并返回该数组中和为 k 的连续子数组的个数。

示例 1

  • 输入:nums = [1,1,1], k = 2
  • 输出:2
  • 解释:共有两个子数组的和为 2,分别是 [1,1][1,1]

示例 2

  • 输入:nums = [1,2,3], k = 3
  • 输出:2
  • 解释:共有两个子数组的和为 3,分别是 [1,2][3]

提示

  • 1 <= nums.length <= 2 * 10^4
  • -1000 <= nums[i] <= 1000
  • -10^7 <= k <= 10^7

解法一(前缀和 + 哈希表)

算法思路

我们可以通过划分所有以 i 为结尾的子数组,逐步计算这些子数组的和是否为 k。如果满足条件,则累加结果。

  1. 外层循环 (枚举所有以 i 结尾的子数组):

    • 针对每一个位置 i,我们寻找与其满足和为 k 的连续子数组。
  2. 查找条件

    • 要使 t-i 的子数组和为 k,相当于找到位置 0-t-1 的和为 sum - k
    • 通过累加 0-i 的前缀和 sum[i],我们可以将此问题简化为查找 sum[i] - k 是否在 0-t-1 区间内存在。
  3. 初始化 hash[0] = 1

    • 这里的 hash[0] = 1 是为了在 t=0 时处理特殊情况。
    • 假设 t=0,即从数组的开始到 i 位置的子数组和为 k,这等价于查找从 0-t-1 的前缀和为 0。但 t=0 时,区间 0-t-1 为无效区间,因此初始化 hash[0] = 1 可以保证从起点开始的累加和为 k

示例分析

假设 nums = [1, 2, 3]k = 3

  1. 初始状态:hash[0] = 1
  2. 遍历 nums 数组:
    • 第一次循环sum = 1,在 hash 中记录 hash[1] = 1
    • 第二次循环sum = 3,此时 sum - k = 0 存在于 hash,累积结果 ret = 1
    • 第三次循环sum = 6,此时 sum - k = 3 存在于 hash,累积结果 ret = 2

最终结果为 2,即子数组 [1, 2][3] 满足和为 k


C++代码实现
cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash; // 记录前缀和出现的次数
        hash[0] = 1; // 确保能统计到从起点到i的子数组和为k的情况
        int sum = 0, ret = 0;

        for(auto x : nums) {
            sum += x; // 计算当前前缀和
            if(hash.count(sum - k)) ret += hash[sum - k]; // 统计符合条件的前缀和个数
            hash[sum]++; // 更新前缀和出现次数
        }

        return ret;
    }
};

易错点提示
  1. 哈希表初始化

    • hash[0] = 1 是关键,确保统计从数组起点到 i 的子数组和为 k 的情况。
  2. 前缀和更新顺序

    • 遍历过程中,计算 sum 后先查找 hash[sum - k],再更新 hash[sum]
  3. 返回值累加逻辑

    • 查询 hash[sum - k] 的值并累加至 ret,每次查找到的值直接反映了符合条件的子数组数量。

代码解读

通过使用哈希表存储前缀和出现的次数,我们可以在一次遍历中快速找到和为 k 的子数组个数。

  • 时间复杂度O(n),因为只需遍历数组一次。
  • 空间复杂度O(n),最坏情况下,每个前缀和都唯一,存入哈希表。

2.2 和可被 K 整除的子数组(medium)

题目链接974. 和可被 K 整除的子数组

题目描述

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ,返回其中元素之和可被 k 整除的(连续、非空)子数组的数目。

示例 1

  • 输入:nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
  • 输出:7
  • 解释:共有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除:
    • [4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

示例 2

  • 输入:nums = [5], k = 9
  • 输出:0

提示

  • 1 <= nums.length <= 3 * 10^4
  • -10^4 <= nums[i] <= 10^4
  • 2 <= k <= 10^4

解法(前缀和 + 哈希表 + 同余定理)

算法思路

目标是统计出和为 k 的倍数的子数组数量。通过利用前缀和和同余定理可以实现线性复杂度的解法:

  1. 同余定理

    两个数如果相减的差能够被 k 整除,则它们的余数相同,即 (a - b) % k == 0 等价于 a % k == b % k

    因此,只要在遍历过程中,当前位置前缀和与之前某个前缀和的余数相同,即可认为它们之间的子数组和能被 k 整除。

  2. 前缀和与余数的关系

    • sum[i] 表示从数组起始位置到 i 的累加和。对于位置 i,要找到多少个以 i 结尾且和可被 k 整除的子数组,就需要查找在 0i-1 区间内,前缀和对 k 取余与 sum[i] % k 相同的前缀和出现次数。
  1. 哈希表记录余数出现次数

    • 通过哈希表 hash 存储每种余数的出现次数,遍历时如果 sum % khash 中出现过,表示到当前位置 i 存在相同余数的前缀和,可以形成满足条件的子数组。
    • 每次找到余数相同的前缀和时,将其次数累加到结果中,然后更新 hash
  2. 处理负数余数

    • 在某些编程语言中(如 C++),负数取模保留负号。为了避免负数影响判断,我们将余数调整为非负,表达式为 (sum % k + k) % k

详细示例

假设 nums = [4, 5, 0, -2, -3, 1]k = 5

  1. 初始状态:hash[0] = 1,表示从数组开始的和能被 k 整除的情况。

  2. 遍历数组,逐步计算前缀和 sum 及其余数 r = (sum % k + k) % k,然后在 hash 中查找相同余数出现次数并累加至结果中。

    • 第一次循环sum = 4r = 4
      • hash[4] = 1 更新
    • 第二次循环sum = 9r = 4
      • hash[4] 已存在,累加结果 ret += 1
      • 更新 hash[4] = 2
    • 第三次循环sum = 9r = 4
      • hash[4] 已存在,累加结果 ret += 2
      • 更新 hash[4] = 3
    • 第四次循环sum = 7r = 2
      • hash[2] = 1 更新
    • 第五次循环sum = 4r = 4
      • hash[4] 已存在,累加结果 ret += 3
      • 更新 hash[4] = 4
    • 第六次循环sum = 5r = 0
      • hash[0] 已存在,累加结果 ret += 1
      • 更新 hash[0] = 2

最终结果 ret = 7,即共有 7 个子数组满足和能被 k 整除的条件。


C++代码实现
cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash; // 记录前缀和余数出现的次数
        hash[0] = 1; // 确保能统计到从起点到i的子数组和为k的情况

        int sum = 0, ret = 0;
        for(auto x : nums) {
            sum += x; // 计算当前位置的前缀和
            int r = (sum % k + k) % k; // 修正后的余数

            if(hash.count(r)) ret += hash[r]; // 统计符合条件的余数出现次数
            hash[r]++; // 更新当前余数出现次数
        }

        return ret;
    }
};

易错点提示
  1. 初始化 hash[0] = 1

    • 为了处理从数组起点到 i 的子数组和能被 k 整除的情况,例如当 sum[i] % k == 0 时,需要提前初始化 hash[0] = 1,否则初始状态无法统计正确的结果。
  2. 负数取模的修正

    • 负数取模在 C++ 中保留负号。例如,-1 % 5 = -1。为了保证余数为非负,我们使用 (sum % k + k) % k 表达式,确保余数始终落在 [0, k-1] 范围。
  3. 返回值累加逻辑

    • 每次 sum % k 在哈希表中找到时,将其对应的次数累加到 ret 中,即前缀和为 i 的位置符合条件的子数组个数。

代码解读

我们使用前缀和和同余定理,将问题简化为寻找具有相同余数的前缀和数量。在一次遍历中快速统计出满足条件的子数组数量。

  • 时间复杂度O(n),因为只需遍历数组一次。
  • 空间复杂度O(k),哈希表存储 k 种余数

2.3 连续数组(medium)

题目链接525. 连续数组

题目描述

给定一个二进制数组 nums,找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组,并返回该子数组的长度。

示例 1

  • 输入:nums = [0,1]
    输出:2
    说明:[0, 1] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。

示例 2

  • 输入:nums = [0,1,0]
    输出:2
    说明:[0, 1] (或 [1, 0]) 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。

提示

  • 1 <= nums.length <= 10^5
  • nums[i] 不是 0 就是 1

解法(前缀和 + 哈希表)

算法思路

  • 将 0 视为 -1,1 视为 1,这样问题转化为寻找连续区间的和为 0。
  • 使用前缀和来记录当前位置的和,目标是找到第一个与当前和相等的前缀和的位置,以便计算出最长子数组的长度。
  1. 初始化

    • 使用哈希表记录每种前缀和首次出现的位置。初始化时,将前缀和为 0 的位置设为 -1。
  2. 遍历数组

    • 计算当前的前缀和。如果该前缀和已存在于哈希表中,说明找到了一个和为 0 的区间,更新最长长度。
    • 如果前缀和不存在于哈希表中,则将其加入哈希表,记录首次出现的位置。

示例分析

假设 nums = [0, 1, 0]

  1. 初始状态:hash[0] = -1
  2. 遍历 nums
    • 第 0 次循环sum = -1(0 转换为 -1),hash[-1] = -1,首次出现,记录 hash[-1] = 0
    • 第 1 次循环sum = 0,此时 sum 已存在于 hash,计算 ret = 1 - (-1) = 2
    • 第 2 次循环sum = -1,再次找到 sum 已存在,计算 ret = 2 - 0 = 2

最终结果为 2,即子数组 [0, 1][1, 0] 满足条件。


C++代码实现
cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int findMaxLength(vector<int>& nums) {
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0] = -1; // 处理前缀和为 0 的情况
        int sum = 0, ret = 0;

        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += (nums[i] == 0) ? -1 : 1; // 将 0 视为 -1,1 视为 1
            if (hash.count(sum)) 
                ret = max(ret, i - hash[sum]); // 更新最大长度
            else 
                hash[sum] = i; // 记录首次出现的位置
        }

        return ret;
    }
};

易错点提示
  1. 哈希表初始化

    • hash[0] = -1 确保能统计从起点到 i 的子数组和为 0 的情况。
  2. 前缀和更新顺序

    • 在遍历过程中,计算 sum 后先查找 hash[sum],再更新 hash[sum]
  3. 返回值累加逻辑

    • 计算长度时,利用哈希表中存储的前缀和位置来得到最长子数组的长度。

代码解读

通过使用哈希表存储前缀和出现的次数,我们可以在一次遍历中快速找到和为 0 的最长子数组的长度。

  • 时间复杂度O(n),只需遍历数组一次。
  • 空间复杂度O(n),最坏情况下,可能存储 n 个不同的前缀和。

2.4 矩阵区域和(medium)

题目链接1314. 矩阵区域和

题目描述

给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k,请你返回一个矩阵 answer,其中每个 answer[i][j] 是所有满足以下条件的元素 mat[r][c] 的和:

  • i - k <= r <= i + k
  • j - k <= c <= j + k
  • (r, c) 在矩阵内。

示例 1

  • 输入:mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 1
    输出:[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]]

示例 2

  • 输入:mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 2
    输出:[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]

提示

  • m == mat.length
  • n == mat[i].length
  • 1 <= m, n, k <= 100
  • 1 <= mat[i][j] <= 100

解法(二维前缀和)

算法思路

  • 使用二维前缀和的概念来高效计算每个 (i, j) 位置的矩阵区域和。
  • 首先构造一个前缀和矩阵 dp,然后根据区域的左上角和右下角的坐标来快速获取所需的和。
  1. 初始化前缀和矩阵

    • 构造一个 (m + 1) x (n + 1) 的前缀和矩阵 dp,其中 dp[i][j] 表示 mat 矩阵中 (0,0)(i-1,j-1) 的元素和。
  2. 计算前缀和

    • 遍历原矩阵 mat,根据前缀和的性质填充 dp
  3. 计算区域和

    • 对于每个位置 (i, j),计算左上角和右下角的坐标,然后利用前缀和矩阵快速得到区域和。

示例分析

假设 mat = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]k = 1

  1. 初始化前缀和矩阵 dp

    • 计算出 dp,其中 dp[i][j] 是对应矩阵区域的和。
  2. 对于 i=1, j=1 位置:

    • 左上角坐标 (0, 0) 和右下角坐标 (2, 2)
    • 通过 dp 计算:
      • ret[1][1] = dp[2][2] - dp[0][2] - dp[2][0] + dp[0][0]

最终得到的矩阵区域和为 [[12, 21, 16], [27, 45, 33], [24, 39, 28]]


C++代码实现
cpp 复制代码
class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
        int m = mat.size(), n = mat[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));

        // 1. 预处理前缀和矩阵
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
            }
        }

        // 2. 计算区域和
        vector<vector<int>> ret(m, vector<int>(n));
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                int x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k);
                int x2 = min(m - 1, i + k), y2 = min(n - 1, j + k);
                ret[i][j] = dp[x2 + 1][y2 + 1] - dp[x1][y2 + 1] - dp[x2 + 1][y1] + dp[x1][y1];
            }
        }

        return ret;
    }
};

易错点提示
  1. 边界条件

    • 确保左上角和右下角的坐标在矩阵范围内,通过 maxmin 函数处理。
  2. 前缀和更新

    • 在计算前缀和时,要注意从 (1,1) 开始填充,以避免越界。
  3. 结果计算逻辑

    • 注意在 dp 矩阵中使用的是 x2 + 1y2 + 1,因为 dp 矩阵是多一行和多一列的。

代码解读

通过构建前缀和矩阵,可以在 O(1) 时间内计算任意区域的和,使得整个算法的时间复杂度为 O(m * n),而空间复杂度也是 O(m * n),适合给定的约束条件。

写在最后

前缀和作为一种高效的数据结构,极大地简化了众多数组与矩阵相关问题的求解过程。本文通过解析具体问题,如和为 k 的子数组、和可被 k 整除的子数组及最长连续数组,展示了前缀和与哈希表结合的威力。每个示例不仅提供了解法,还详细解释了代码实现的思路与易错点,帮助读者更好地理解与掌握。通过这些深入的分析,读者能够在面临复杂问题时,更自信地运用前缀和的技巧,提升解题效率。

以上就是关于【优选算法篇】前缀之美,后缀之韵:于数列深处追寻算法的动与静的内容啦,各位大佬有什么问题欢迎在评论区指正,您的支持是我创作的最大动力!❤️

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