组合数计算及其性质

组合数计算示例

组合数 C 4 2 C_4^2 C42表示从4个不同元素中选取2个元素的组合数，其计算公式为：

C ( n , m ) = n ! m ! × ( n − m ) ! C(n,m)=\frac{n!}{m!\times(n-m)!} C(n,m)=m!×(n−m)!n!

其中， n n n为总元素数， m m m为选取的元素数，"!"表示阶乘。

对于 C 4 2 C_4^2 C42， n = 4 n=4 n=4， m = 2 m=2 m=2，计算如下：

C ( 4 , 2 ) = 4 ! 2 ! × ( 4 − 2 ) ! = 4 × 3 × 2 × 1 2 × 1 × 2 × 1 = 24 4 = 6 C(4,2)=\frac{4!}{2!\times(4-2)!}=\frac{4\times3\times2\times1}{2\times1\times2\times1}=\frac{24}{4}=6 C(4,2)=2!×(4−2)!4!=2×1×2×14×3×2×1=424=6

因此，从4个不同元素中选取2个元素的组合数为6。

需要注意的是，组合数与元素的顺序无关，仅考虑选取的元素集合。

组合数的性质

组合数在组合数学中具有重要地位，以下是一些常用的组合数结论：

组合数公式

从 n n n个不同元素中选取 m m m个元素的组合数表示为 C ( n , m ) C(n,m) C(n,m)，其计算公式为：
C ( n , m ) = n ! m ! × ( n − m ) ! C(n,m)=\frac{n!}{m!\times(n-m)!} C(n,m)=m!×(n−m)!n!

其中， n ! n! n!表示 n n n的阶乘。
对称性

组合数具有对称性，即：
C ( n , m ) = C ( n , n − m ) C(n,m)=C(n,n-m) C(n,m)=C(n,n−m)

这意味着从 n n n个元素中选取 m m m个元素的组合数，等同于选取剩余的 n − m n-m n−m个元素的组合数。
递推关系

组合数满足以下递推公式：
C ( n , m ) = C ( n − 1 , m − 1 ) + C ( n − 1 , m ) C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) C(n,m)=C(n−1,m−1)+C(n−1,m)

该公式表示，从 n n n个元素中选取 m m m个元素的组合数等于包含特定元素的组合数与不包含该元素的组合数之和。
组合数求和公式

组合数的各项和为：
∑ k = 0 n C ( n , k ) = 2 n \sum_{k=0}^{n}C(n,k)=2^n k=0∑nC(n,k)=2n

这表示从 n n n个元素中选取任意数量元素的所有组合数之和等于 2 n 2^n 2n。
二项式定理

二项式定理指出：
( a + b ) n = ∑ k = 0 n C ( n , k ) ⋅ a n − k ⋅ b k (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)\cdot a^{n-k}\cdot b^k (a+b)n=k=0∑nC(n,k)⋅an−k⋅bk

该定理揭示了组合数在多项式展开中的作用。
杨辉三角

杨辉三角是组合数的直观表示，第 n n n行第 k k k个数对应 C ( n , k ) C(n,k) C(n,k)。
范德蒙德恒等式

该恒等式描述了组合数的卷积性质：
C ( m + n , r ) = ∑ k = 0 r C ( m , k ) ⋅ C ( n , r − k ) C(m+n,r)=\sum_{k=0}^{r}C(m,k)\cdot C(n,r-k) C(m+n,r)=k=0∑rC(m,k)⋅C(n,r−k)

这表示从 m + n m+n m+n个元素中选取 r r r个元素的组合数等于从 m m m个元素中选取 k k k个元素与从 n n n个元素中选取 r − k r-k r−k个元素的组合数之和。

这些结论在组合数学中广泛应用，帮助解决各种计数和概率问题。

MATLAB 代码

在 MATLAB 中，您可以使用内置函数 nchoosek 来计算组合数。该函数有两种主要用法：

计算组合数的数量

给定总元素数 n 和选取元素数 k，计算组合数的数量。

matlab 复制代码

n = 6; % 总元素数
k = 3; % 选取元素数
C = nchoosek(n, k);
fprintf('从 %d 个元素中选取 %d 个元素的组合数为：%d\n', n, k, C);

上述代码将输出：

复制代码

从 6 个元素中选取 3 个元素的组合数为：20

列出所有组合

给定一个向量 v 和选取元素数 k，列出所有可能的组合。

matlab 复制代码

v = [1, 2, 3, 4]; % 元素向量
k = 2;            % 选取元素数
combinations = nchoosek(v, k);
disp('所有可能的组合为：');
disp(combinations);

上述代码将输出：

复制代码

需要注意的是，nchoosek 函数在处理较大数值时可能会出现精度问题。对于非常大的 n 和 k，建议使用其他数值计算方法或工具。