向量和矩阵的范数

一般,实数的绝对值来表示"实数"的大小;复数的模来表示复数的大小。这在实际应用中,带来了非常大的便利。

对于一个平面向量 a a a ,当其在直角坐标系中的分量分别为 x 0 x_0 x0和 y 0 y_0 y0时,我们常用 x 0 2 + y 0 2 \sqrt {x_0^2+y_0^2} x02+y02 来表示其大小。同样,对于三维空间向量 b b b,当其在坐标系中的分量分别为 x 1 、 y 1 x_1、y_1 x1、y1和 z 1 z_1 z1时,我们常用 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} x12+y12+z12 来表示向量 b b b的大小。

类似地,空间向量也有相仿的结果。

"范数"这个概念这些表示"大小"的数值的普遍化。

下面考虑 n n n维向量空间 R n R^n Rn的情形。

x = ( x 1 , x 2 , . . , x n ) T x=(x_1,x_2,..,x_n)^T x=(x1,x2,..,xn)T

  • 1-范数(绝对值范数)
    ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ k = 1 n ∣ x k ∣ ||x||_1=\sum _{k=1} ^n|x_k| ∣∣x∣∣1=k=1∑n∣xk∣

  • 2-范数(欧几里得范数)
    ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ∑ k = 1 n x k 2 ||x||2=\sqrt{\sum{k=1}^n x_k ^2} ∣∣x∣∣2=k=1∑nxk2

  • ∞ \infin ∞-范数
    ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = m a x ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ = m a x i { ∣ x 1 ∣ , . . . , ∣ x i ∣ , . . . , ∣ x n ∣ } ||x||{\infin}=max{≤i≤n}|x_i|=max_i {{|x_1|,...,|x_i|,...,|x_n|}} ∣∣x∣∣∞=max≤i≤n∣xi∣=maxi{∣x1∣,...,∣xi∣,...,∣xn∣}

下面我们来看一个例子。
x = ( 1 , 2 , − 3 ) T x=(1,2,-3)^T x=(1,2,−3)T

则有,
∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∣ 1 ∣ + ∣ 2 ∣ + ∣ − 3 ∣ = 6 ||x||_1=|1|+|2|+|-3|=6 ∣∣x∣∣1=∣1∣+∣2∣+∣−3∣=6
∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = 1 2 + 2 2 + ( − 3 ) 2 = 14 ||x||2=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt {14} ∣∣x∣∣2=12+22+(−3)2 =14
∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = m a x { ∣ 1 ∣ , ∣ 2 ∣ , ∣ − 3 ∣ } = 3 ||x||
{\infin}=max{|1|,|2|,|-3|}=3 ∣∣x∣∣∞=max{∣1∣,∣2∣,∣−3∣}=3

下面我们考虑 R n × n R^{n×n} Rn×n中的矩阵范数。

  • 列范数: ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 n ∣ a i j ∣ ||A||1=\max{1≤j≤n}\sum_{i=1}^n|a_{ij}| ∣∣A∣∣1=1≤j≤nmaxi=1∑n∣aij∣

  • 行范数:
    ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ ||A||{\infin}=\max{1≤i≤n}\sum_{j=1}^n|a_{ij}| ∣∣A∣∣∞=1≤i≤nmaxj=1∑n∣aij∣

  • F范数:
    ∣ ∣ A ∣ ∣ F = ∑ i , j = 1 n a i j 2 ||A||F=\sqrt {\sum{i,j=1}^na_{ij} ^2} ∣∣A∣∣F=i,j=1∑naij2

  • 2范数:
    ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ max ⁡ ||A||2=\sqrt{\lambda{\max}} ∣∣A∣∣2=λmax

    ( λ max ⁡ \lambda_{\max} λmax是 A T A A^TA ATA的最大的特征值)

下面来看一个例子:

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