一般，实数的绝对值来表示"实数"的大小；复数的模来表示复数的大小。这在实际应用中，带来了非常大的便利。
对于一个平面向量 a a a ,当其在直角坐标系中的分量分别为 x 0 x_0 x0和 y 0 y_0 y0时，我们常用 x 0 2 + y 0 2 \sqrt {x_0^2+y_0^2} x02+y02 来表示其大小。同样，对于三维空间向量 b b b，当其在坐标系中的分量分别为 x 1 、 y 1 x_1、y_1 x1、y1和 z 1 z_1 z1时，我们常用 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} x12+y12+z12 来表示向量 b b b的大小。
类似地，空间向量也有相仿的结果。
"范数"这个概念这些表示"大小"的数值的普遍化。
下面考虑 n n n维向量空间 R n R^n Rn的情形。
x = ( x 1 , x 2 , . . , x n ) T x=(x_1,x_2,..,x_n)^T x=(x1,x2,..,xn)T
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1-范数(绝对值范数)
∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ k = 1 n ∣ x k ∣ ||x||_1=\sum _{k=1} ^n|x_k| ∣∣x∣∣1=k=1∑n∣xk∣ -
2-范数(欧几里得范数)
∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ∑ k = 1 n x k 2 ||x||2=\sqrt{\sum{k=1}^n x_k ^2} ∣∣x∣∣2=k=1∑nxk2 -
∞ \infin ∞-范数
∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = m a x ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ = m a x i ｛ ∣ x 1 ∣ , . . . , ∣ x i ∣ , . . . , ∣ x n ∣ ｝ ||x||{\infin}=max{≤i≤n}|x_i|=max_i ｛{|x_1|,...,|x_i|,...,|x_n|}｝ ∣∣x∣∣∞=max≤i≤n∣xi∣=maxi｛∣x1∣,...,∣xi∣,...,∣xn∣｝
下面我们来看一个例子。
x = ( 1 , 2 , − 3 ) T x=(1,2,-3)^T x=(1,2,−3)T
则有，
∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∣ 1 ∣ + ∣ 2 ∣ + ∣ − 3 ∣ = 6 ||x||_1=|1|+|2|+|-3|=6 ∣∣x∣∣1=∣1∣+∣2∣+∣−3∣=6
∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = 1 2 + 2 2 + ( − 3 ) 2 = 14 ||x||2=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt {14} ∣∣x∣∣2=12+22+(−3)2 =14
∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = m a x ｛ ∣ 1 ∣ , ∣ 2 ∣ , ∣ − 3 ∣ ｝ = 3 ||x||{\infin}=max｛|1|,|2|,|-3|｝=3 ∣∣x∣∣∞=max｛∣1∣,∣2∣,∣−3∣｝=3
下面我们考虑 R n × n R^{n×n} Rn×n中的矩阵范数。
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列范数： ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 n ∣ a i j ∣ ||A||1=\max{1≤j≤n}\sum_{i=1}^n|a_{ij}| ∣∣A∣∣1=1≤j≤nmaxi=1∑n∣aij∣
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行范数：
∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ ||A||{\infin}=\max{1≤i≤n}\sum_{j=1}^n|a_{ij}| ∣∣A∣∣∞=1≤i≤nmaxj=1∑n∣aij∣ -
F范数：
∣ ∣ A ∣ ∣ F = ∑ i , j = 1 n a i j 2 ||A||F=\sqrt {\sum{i,j=1}^na_{ij} ^2} ∣∣A∣∣F=i,j=1∑naij2 -
2范数:
∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ max ||A||2=\sqrt{\lambda{\max}} ∣∣A∣∣2=λmax（ λ max \lambda_{\max} λmax是 A T A A^TA ATA的最大的特征值）
下面来看一个例子：
