贪心算法(Greedy Algorithm)

一、简介

贪心算法是一种在每一步选择中都做出当前最优解的算法,以期通过这些局部最优解,最终得到全局最优解。它的核心思想是贪心选择性质,即每一步都选择能带来最优解的那个选项,而不考虑后续步骤的影响。

步骤:

1、建立贪心选择标准:确定可以用来判断当前局部最优解的标准

2、验证贪心选择性质:确保在局部最优的条件下,整体的解也是最优的

3、问题缩小:将问题分解为子问题,并应用贪心策略qiuj

4、构建解:根据每一步的选择构造最终的解

二、动态规划算法和贪心算法的区别

三、算法优势/适用场景

1、活动选择问题:选择能够参加最多活动的时间安排。

2、最小生成树问题:Kruskal和Prim算法都基于贪心思想。

3、单源最短路径问题:Dijkstra算法也是一种贪心算法。

4、哈夫曼编码

四、例题(C++,随缘更新)

1、会场安排问题

题目来源:计算机算法设计与分析(第五版)王晓东

问题描述:假设要在足够多的会场里安排一批活动,并希望使用尽可能少的会场。设计一个有效的贪心算法进行安排。对于给定的k个待安排的活动,计算使用最少会场的时间表。

数据输入:第1行有1个正整数k,表示有k个待安排的活动。接下来的k行中,每行有2个正整数,分别表示k个待安排的活动的开始时间和结束时间。时间以0点开始的分钟计。

结果输出:将计算的最少会场数输出。

输入示例: 输出示例:

5 3

1 23

12 28

25 35

27 80

36 50

问题分析:这个问题实际上是著名的图着色问题。若将每个活动作为图的一个顶点,不相容活动间用边相连。使相邻顶点着有不同颜色的最小着色数,相当于要找的最小会场数。

贪心算法思想:先将活动按开始时间排序,然后遍历每一个活动,对于一个活动,再遍历每一个会场,如果这个活动在这个会场的最后一个活动结束时间之后,就说明可以在这个会场安排本活动,如果遍历完所有会场都无法安排那么就新增会场。

样例分析:示例的活动已经是按照开始时间排好序的了,那么下面依次遍历每个活动,首先对于第一个活动,目前还没有分配会场,所以肯定要新增一个会场,那么这个会场的结束时间就是这个活动的结束时间,为23。然后对于第二个活动,开始时间为12<23说明无法安排在第一个会场,现在新增第二个会场,结束时间为28。对于第三个活动,开始时间为25>23,则可以安排在第一个会场,第一个会场结束时间更新为35。对于第四个活动,开始时间为27<35,27<28,所以无法安排在前两个会场,那么此时新增第三个会场,结束时间为80。对于第五个活动,开始时间为36>35,可以安排在第一个会场,分配完毕,一共需要三个会场。

代码实现:

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
//活动的结构体 
struct activity{
	int start;//开始时间 
	int end;//结束时间 
};

bool cmp(activity a, activity b)
{
	if(a.start!=b.start)
	{
		return a.start < b.start;
	}
	return a.end < b.end;
}
int minRoom(vector<activity>& activities)
{
	//按活动开始时间排序 
	sort(activities.begin(), activities.end(), cmp);
	
	//记录每个会场的结束时间
	vector<int> endtime;
	
	//开始处理每一个活动 
	for(int i = 0; i < activities.size(); i++)
	{
		bool flag = false;//标记是否分配成功
		
		for(int j = 0; j < endtime.size(); j++)
		{
			//活动的开始时间在会场所有活动结束时间以后,就说明可以再安排活动 
			if(activities[i].start > endtime[j])
			{
				//更新会场结束时间 
				endtime[j] = activities[i].end;
				flag = true;
				break;
			}
		}
		//如果没找到,新增一个会场
		if(!flag)
		{
			endtime.push_back(activities[i].end);
		} 
			
	}
	
	return endtime.size();
}

int main(int argc, char** argv) {
	int n;
	cin >> n;
	
	vector<activity> activities(n);
	//输入开始时间和结束时间 
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		cin >> activities[i].start >> activities[i].end;
	}
	
	//计算
	int	result = minRoom(activities); 
	
	//结果输出
	cout << result << endl; 
	return 0;
}

2、最优合并问题

题目来源:计算机算法设计与分析(第五版)王晓东

问题描述:给定k个排好序的序列s1,s2....,sk,用2路合并算法将这大个字列合并成一个序列。假设采用的2路合并算法合并2个长度分别为m和n的序列需要m+n-1次比较。试设计一个算法确定合并这个序列的最优合并顺序,使所需的总比较次数最少。为了进行比较,还需要确定合并这个序列的最差合并序,使所需的总比较次数最多。

数据输入:第1行有1个正整数k,表示有k个待合并序列。接下来的1行中,有k个正整数,表示k个待合并序列的长度。

结果输出:输出最多比较次数和最少比较次数

输入示例: 输出示例:

4 78 52

5 12 11 2

问题分析:该问题类似于哈夫曼编码的思想,我们通过贪心算法可以找到最优合并顺序,使得比较次数最少,为了得到最多比较次数,我们则需要采用反向的贪心策略。

贪心策略:对于最少比较次数即每次合并序列最短的两个序列;对于最多比较次数即合并最长的两个序列。

样例分析:

(1)最少比较次数

从小到大排序:2,5,11,12,将2和5合并,得到新的序列7,次数为6

从小到大排序:7,11,12,将7和11合并,得到新的序列18,次数为17

从小到大排序:12,18,将12和18合并,得到新的序列30,次数为29

最少次数min = 6+17+29 = 52

(2)最多比较次数

从大到小排序:12,11,5,2,将12和11合并,得到新的序列23,次数为22

从大到小排序:23,5,2,将23和5合并,得到新的序列28,次数为27

从大到小排序:28,2,将28和2合并,得到新的序列30,次数为29

最多次数max = 22+27+29 = 78

代码实现:

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

//从大到小排序 
bool cmp(int a, int b)
{
	return a > b;
 } 
 
// 计算最少比较次数
int minnum(int lengths[], int k) {
	int min = 0;
    for(int i=0; i<k-1; ++i) {
        sort(lengths+i,lengths+k);//从小到大排序 ,只需排序还未进行合并的序列 
        lengths[i+1] = lengths[i] + lengths[i+1];//把合并后的序列长度赋值给a[i+1] 
        min+=lengths[i+1]-1;//合并次数为m+n-1,即合并后的长度-1 
    }

    return min;
}

// 计算最多比较次数
int maxnum(int lengths[], int k) {
    int max = 0;
    for(int i=0; i<k-1; ++i) {
        sort(lengths+i,lengths+k,cmp);//从大到小排序 ,只需排序还未进行合并的序列 
        lengths[i+1] = lengths[i] + lengths[i+1];//把合并后的序列长度赋值给a[i+1] 
        max+=lengths[i+1]-1;//合并次数为m+n-1,即合并后的长度-1 
    }

    return max;
}

int main() {
    int k;
    cin >> k;

	//复制一份数据,因为在计算max时,数组中的值会被更改 
    int lengths[k], len[k];
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        cin >> lengths[i];
        len[i] = lengths[i];
    }

    cout << maxnum(lengths,k) << " "  << minnum(len,k) << endl;
    return 0;
}
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