布朗运动

内容来源

数理金融初步（原书第3版）Sheldon M. Ross著冉启康译机械工业出版社

定义

如果随机变量集合 X ( t ) X(t) X(t) 满足以下条件

X ( 0 ) X(0) X(0) 是一个给定的常数

对所有正数 y y y 和 t t t，随机变量 X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)−X(y) 独立于到 y y y 为止的所有过程值，且它服从均值为 μ t \mu t μt，方差为 t σ 2 t\sigma^2 tσ2 的正态分布

则称其为一个漂移参数为 μ \mu μ，方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动

条件 2 2 2 表明，是过程的现值而不是任何的过去值决定了过程的将来值的概率

连续

X ( t ) X(t) X(t) 以概率 1 1 1 是 t t t 的连续函数

lim ⁡ h → 0 $X ( t + h ) - X ( t )$ \lim_{h\rightarrow0} $X(t+h)-X(t)$ h→0lim $X(t+h)-X(t)$

随机变量 X ( t + h ) − X ( t ) X(t+h)-X(t) X(t+h)−X(t) 的均值、方差分别为 μ h \mu h μh 和 h σ 2 h\sigma^2 hσ2

当 h → 0 h\rightarrow0 h→0 时，它收敛于一个均值为 0 0 0，方差为 0 0 0 的随机变量，即常数 0 0 0

处处不可微

lim ⁡ h → 0 X ( t + h ) − X ( t ) h \lim_{h\rightarrow0}\frac{X(t+h)-X(t)}{h} h→0limhX(t+h)−X(t)

X ( t + h ) − X ( t ) h \frac{X(t+h)-X(t)}{h} hX(t+h)−X(t) 的均值为 μ \mu μ，方差为 σ 2 / h \sigma^2/h σ2/h

当 h → 0 h\rightarrow0 h→0 时，方差显然不收敛

布朗运动可由一个相对简单的过程近似

设 Δ \Delta Δ 是一个很小的时间增量，考虑一个过程，使其在每个 Δ \Delta Δ 时间长度上，该过程或以概率 p p p 增加 σ Δ \sigma\sqrt{\Delta} σΔ ，或以概率 1 − p 1-p 1−p 减少 σ Δ \sigma\sqrt{\Delta} σΔ ，其中

p = 1 2 ( 1 + μ σ Δ ) p=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta}\right) p=21(1+σμΔ )

且该过程后面的改变值与前面的改变值是独立的

让 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0，该过程就变成了一个漂移参数为 μ \mu μ，方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动

证明如下

设

X i = { 1 如果在时刻 i Δ 变化是增加 − 1 如果在时刻 i Δ 变化是减少 X_i=\begin{cases} 1&如果在时刻i\Delta变化是增加\\ -1&如果在时刻i\Delta变化是减少\\ \end{cases} Xi={1−1如果在时刻iΔ变化是增加如果在时刻iΔ变化是减少

再设 X ( 0 ) X(0) X(0) 表示过程在时刻 0 0 0 的值，那么 n n n 次变化之后，过程值为

X ( n Δ ) = X ( 0 ) + σ Δ ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) X(n\Delta)=X(0)+\sigma\sqrt{\Delta}(X_1+X_2+\cdots+X_n) X(nΔ)=X(0)+σΔ (X1+X2+⋯+Xn)

那么

X ( t ) − X ( 0 ) = σ Δ ∑ i = 1 t / Δ X i X(t)-X(0)=\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i=1}X_i X(t)−X(0)=σΔ i=1∑t/ΔXi

由于 X i X_i Xi 相互独立，当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时，求和式 ∑ i = 1 t / Δ X i \sum^{t/\Delta}_{i=1}X_i ∑i=1t/ΔXi 中的项变得足够多

根据中心极限定理，这个和收敛于一个正态随机变量

其均值与方差分别为

E $X i$ = 1 ⋅ p − 1 ⋅ ( 1 − p ) = 2 p − 1 = μ σ Δ E $X_i$ =1\cdot p-1\cdot(1-p)=2p-1=\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta} E $Xi$ =1⋅p−1⋅(1−p)=2p−1=σμΔ

V a r ( X i ) = E $X i 2$ − E 2 $X i$ = 1 − ( 2 p − 1 ) 2 Var(X_i)=E $X\^2_i$ -E^2 $X_i$ =1-(2p-1)^2 Var(Xi)=E $Xi2$ −E2 $Xi$ =1−(2p−1)2

因此

E $X ( t ) - X ( 0 )$ = E $σ Δ \sum i = 1 t / Δ X i$ = σ Δ ∑ i = 1 t / Δ E $X i$ = σ Δ t Δ μ σ Δ = μ t \begin{align*} E $X(t)-X(0)$ &= E\left $\\sigma\\sqrt{\\Delta}\\sum\^{t/\\Delta}_{i=1}X_i\\right$ \\ &=\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i=1}E $X_i$ \\ &=\sigma\sqrt{\Delta}\frac{t}{\Delta}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta}\\ &=\mu t \end{align*} E $X(t)-X(0)$ =E σΔ i=1∑t/ΔXi =σΔ i=1∑t/ΔE $Xi$ =σΔ ΔtσμΔ =μt

V a r ( X ( t ) − X ( 0 ) ) = V a r ( σ Δ ∑ i = 1 t / Δ X i ) = σ 2 Δ ∑ i = 1 t / Δ V a r $X i$ = σ 2 Δ t Δ $1 - ( 2 p - 1 ) 2$ \begin{align*} Var(X(t)-X(0))&= Var\left(\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}{i=1}X_i\right)\\ &=\sigma^2\Delta\sum^{t/\Delta}{i=1}Var $X_i$ \\ &=\sigma^2\Delta\frac{t}{\Delta} $1-(2p-1)\^2$ \end{align*} Var(X(t)−X(0))=Var σΔ i=1∑t/ΔXi =σ2Δi=1∑t/ΔVar $Xi$ =σ2ΔΔt $1-(2p-1)2$

当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时， p → 1 2 p\rightarrow\frac{1}{2} p→21，由上式

V a r ( X ( t ) − X ( 0 ) ) → t σ 2 , Δ → 0 Var(X(t)-X(0))\rightarrow t\sigma^2,\Delta\rightarrow0 Var(X(t)−X(0))→tσ2,Δ→0

综上，当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时， X ( t ) − X ( 0 ) X(t)-X(0) X(t)−X(0) 收敛于 N ( μ t , t σ 2 ) N(\mu t,t\sigma^2) N(μt,tσ2)

由于过程后面的改变与前面的改变独立，且每次改变增加或减少点概率是相同的

所以 X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)−X(y) 与 X ( t ) − X ( 0 ) X(t)-X(0) X(t)−X(0) 有相同分布

且 X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)−X(y) 与 y y y 之前的过程改变是独立的

因此，当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时，过程值在时间上的集合是一个漂移参数为 μ \mu μ，方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动

布朗运动的重要性质

给定 X ( t ) = x X(t)=x X(t)=x，那么集合 X ( y ) , 0 ⩽ y ⩽ t X(y),0\leqslant y\leqslant t X(y),0⩽y⩽t 的条件概率分布与 μ \mu μ 的取值无关

证

++更像是说明++

设 s = X ( 0 ) s=X(0) s=X(0) 是 0 0 0 时刻的价格

考虑近似模型，其中价格是在 Δ \Delta Δ 的整倍数时间上变化的，其每次改变量的决定值相同，设为 c = σ Δ c=\sigma\sqrt{\Delta} c=σΔ （注意 c c c 不依赖于 μ \mu μ）

到 t t t 时刻，变化次数为 t / Δ t/\Delta t/Δ，变化的量为 x − s x-s x−s

则正改变有 t 2 Δ + x − s 2 c \frac{t}{2\Delta}+\frac{x-s}{2c} 2Δt+2cx−s 次，负改变有 t 2 Δ − x − s 2 c \frac{t}{2\Delta}-\frac{x-s}{2c} 2Δt−2cx−s 次

由于每次改变都是独立的，因而在给定条件下，正改变在总改变中的每种排列都是等可能的

因此，尽管 p p p 依赖于 μ \mu μ，但到 t t t 时刻为止的历史值在 X ( t ) = x X(t)=x X(t)=x 下的条件分布不依赖于 μ \mu μ