内容来源
数理金融初步（原书第3版）Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社
布朗运动
定义
如果随机变量集合 X ( t ) X(t) X(t) 满足以下条件
X ( 0 ) X(0) X(0) 是一个给定的常数
对所有正数 y y y 和 t t t，随机变量 X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)−X(y) 独立于到 y y y 为止的所有过程值，且它服从均值为 μ t \mu t μt，方差为 t σ 2 t\sigma^2 tσ2 的正态分布
则称其为一个漂移参数为 μ \mu μ，方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动
条件 2 2 2 表明，是过程的现值而不是任何的过去值决定了过程的将来值的概率
连续
X ( t ) X(t) X(t) 以概率 1 1 1 是 t t t 的连续函数
lim h → 0 [ X ( t + h ) − X ( t ) ] \lim_{h\rightarrow0}[X(t+h)-X(t)] h→0lim[X(t+h)−X(t)]
随机变量 X ( t + h ) − X ( t ) X(t+h)-X(t) X(t+h)−X(t) 的均值、方差分别为 μ h \mu h μh 和 h σ 2 h\sigma^2 hσ2
当 h → 0 h\rightarrow0 h→0 时，它收敛于一个均值为 0 0 0，方差为 0 0 0 的随机变量，即常数 0 0 0
处处不可微
lim h → 0 X ( t + h ) − X ( t ) h \lim_{h\rightarrow0}\frac{X(t+h)-X(t)}{h} h→0limhX(t+h)−X(t)
X ( t + h ) − X ( t ) h \frac{X(t+h)-X(t)}{h} hX(t+h)−X(t) 的均值为 μ \mu μ，方差为 σ 2 / h \sigma^2/h σ2/h
当 h → 0 h\rightarrow0 h→0 时，方差显然不收敛
布朗运动可由一个相对简单的过程近似
设 Δ \Delta Δ 是一个很小的时间增量，考虑一个过程，使其在每个 Δ \Delta Δ 时间长度上，该过程或以概率 p p p 增加 σ Δ \sigma\sqrt{\Delta} σΔ ，或以概率 1 − p 1-p 1−p 减少 σ Δ \sigma\sqrt{\Delta} σΔ ，其中
p = 1 2 ( 1 + μ σ Δ ) p=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta}\right) p=21(1+σμΔ )
且该过程后面的改变值与前面的改变值是独立的
让 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0，该过程就变成了一个漂移参数为 μ \mu μ，方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动
证明如下
设
X i = { 1 如果在时刻 i Δ 变化是增加 − 1 如果在时刻 i Δ 变化是减少 X_i=\begin{cases} 1&如果在时刻i\Delta变化是增加\\ -1&如果在时刻i\Delta变化是减少\\ \end{cases} Xi={1−1如果在时刻iΔ变化是增加如果在时刻iΔ变化是减少
再设 X ( 0 ) X(0) X(0) 表示过程在时刻 0 0 0 的值，那么 n n n 次变化之后，过程值为
X ( n Δ ) = X ( 0 ) + σ Δ ( X 1 + X 2 + ⋯ + X n ) X(n\Delta)=X(0)+\sigma\sqrt{\Delta}(X_1+X_2+\cdots+X_n) X(nΔ)=X(0)+σΔ (X1+X2+⋯+Xn)
那么
X ( t ) − X ( 0 ) = σ Δ ∑ i = 1 t / Δ X i X(t)-X(0)=\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}_{i=1}X_i X(t)−X(0)=σΔ i=1∑t/ΔXi
由于 X i X_i Xi 相互独立，当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时，求和式 ∑ i = 1 t / Δ X i \sum^{t/\Delta}_{i=1}X_i ∑i=1t/ΔXi 中的项变得足够多
根据中心极限定理，这个和收敛于一个正态随机变量
其均值与方差分别为
E [ X i ] = 1 ⋅ p − 1 ⋅ ( 1 − p ) = 2 p − 1 = μ σ Δ E[X_i]=1\cdot p-1\cdot(1-p)=2p-1=\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta} E[Xi]=1⋅p−1⋅(1−p)=2p−1=σμΔ
V a r ( X i ) = E [ X i 2 ] − E 2 [ X i ] = 1 − ( 2 p − 1 ) 2 Var(X_i)=E[X^2_i]-E^2[X_i]=1-(2p-1)^2 Var(Xi)=E[Xi2]−E2[Xi]=1−(2p−1)2
因此
E [ X ( t ) − X ( 0 ) ] = E [ σ Δ ∑ i = 1 t / Δ X i ] = σ Δ ∑ i = 1 t / Δ E [ X i ] = σ Δ t Δ μ σ Δ = μ t \begin{align*} E[X(t)-X(0)]&= E\left[\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}{i=1}X_i\right]\\ &=\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}{i=1}E[X_i]\\ &=\sigma\sqrt{\Delta}\frac{t}{\Delta}\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\Delta}\\ &=\mu t \end{align*} E[X(t)−X(0)]=E σΔ i=1∑t/ΔXi =σΔ i=1∑t/ΔE[Xi]=σΔ ΔtσμΔ =μt
V a r ( X ( t ) − X ( 0 ) ) = V a r ( σ Δ ∑ i = 1 t / Δ X i ) = σ 2 Δ ∑ i = 1 t / Δ V a r [ X i ] = σ 2 Δ t Δ [ 1 − ( 2 p − 1 ) 2 ] \begin{align*} Var(X(t)-X(0))&= Var\left(\sigma\sqrt{\Delta}\sum^{t/\Delta}{i=1}X_i\right)\\ &=\sigma^2\Delta\sum^{t/\Delta}{i=1}Var[X_i]\\ &=\sigma^2\Delta\frac{t}{\Delta}[1-(2p-1)^2] \end{align*} Var(X(t)−X(0))=Var σΔ i=1∑t/ΔXi =σ2Δi=1∑t/ΔVar[Xi]=σ2ΔΔt[1−(2p−1)2]
当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时， p → 1 2 p\rightarrow\frac{1}{2} p→21，由上式
V a r ( X ( t ) − X ( 0 ) ) → t σ 2 , Δ → 0 Var(X(t)-X(0))\rightarrow t\sigma^2,\Delta\rightarrow0 Var(X(t)−X(0))→tσ2,Δ→0
综上，当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时， X ( t ) − X ( 0 ) X(t)-X(0) X(t)−X(0) 收敛于 N ( μ t , t σ 2 ) N(\mu t,t\sigma^2) N(μt,tσ2)
由于过程后面的改变与前面的改变独立，且每次改变增加或减少点概率是相同的
所以 X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)−X(y) 与 X ( t ) − X ( 0 ) X(t)-X(0) X(t)−X(0) 有相同分布
且 X ( y + t ) − X ( y ) X(y+t)-X(y) X(y+t)−X(y) 与 y y y 之前的过程改变是独立的
因此，当 Δ → 0 \Delta\rightarrow0 Δ→0 时，过程值在时间上的集合是一个漂移参数为 μ \mu μ，方差参数为 σ 2 \sigma^2 σ2 的布朗运动
布朗运动的重要性质
给定 X ( t ) = x X(t)=x X(t)=x，那么集合 X ( y ) , 0 ⩽ y ⩽ t X(y),0\leqslant y\leqslant t X(y),0⩽y⩽t 的条件概率分布与 μ \mu μ 的取值无关
证
++更像是说明++
设 s = X ( 0 ) s=X(0) s=X(0) 是 0 0 0 时刻的价格
考虑近似模型，其中价格是在 Δ \Delta Δ 的整倍数时间上变化的，其每次改变量的决定值相同，设为 c = σ Δ c=\sigma\sqrt{\Delta} c=σΔ （注意 c c c 不依赖于 μ \mu μ）
到 t t t 时刻，变化次数为 t / Δ t/\Delta t/Δ，变化的量为 x − s x-s x−s
则正改变有 t 2 Δ + x − s 2 c \frac{t}{2\Delta}+\frac{x-s}{2c} 2Δt+2cx−s 次，负改变有 t 2 Δ − x − s 2 c \frac{t}{2\Delta}-\frac{x-s}{2c} 2Δt−2cx−s 次
由于每次改变都是独立的，因而在给定条件下，正改变在总改变中的每种排列都是等可能的
因此，尽管 p p p 依赖于 μ \mu μ，但到 t t t 时刻为止的历史值在 X ( t ) = x X(t)=x X(t)=x 下的条件分布不依赖于 μ \mu μ