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数字分组求偶数和

难度：简单

数字分组求偶数和

问题描述

小M面对一组从 1 到 9 的数字，这些数字被分成多个小组，并从每个小组中选择一个数字组成一个新的数。目标是使得这个新数的各位数字之和为偶数。任务是计算出有多少种不同的分组和选择方法可以达到这一目标。

• numbers: 一个由多个整数字符串组成的列表，每个字符串可以视为一个数字组。小M需要从每个数字组中选择一个数字。

例如对于[123, 456, 789]，14个符合条件的数为：147 149 158 167 169 248 257 259 268 347 349 358 367 369。

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测试样例

样例1：

输入：numbers = [123, 456, 789]

输出：14

样例2：

输入：numbers = [123456789]

输出：4

样例3：

输入：numbers = [14329, 7568]

输出：10

代码

def solution(numbers):
        # 统计每个组中的奇数和偶数个数
        odd_even_count = []
        
        for group in numbers:
            odd_count = sum(1 for digit in str(group) if int(digit) % 2 == 1)
            even_count = len(str(group)) - odd_count
            odd_even_count.append((odd_count, even_count))
    
        # 动态规划：dp[i][0] 表示前i个组选出的数字和为偶数的组合数，dp[i][1] 表示前i个组选出的数字和为奇数的组合数
        dp = [[0, 0] for _ in range(len(odd_even_count) + 1)]   
        dp[0][0] = 1  # 初始状态：没有选择任何数字，和为偶数
    
        for i in range(1, len(odd_even_count) + 1):
            odd_count, even_count = odd_even_count[i - 1]
        
            # 选择偶数的数字：当前和保持不变（偶数和偶数仍为偶数，奇数和奇数也为偶数）
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] * even_count + dp[i - 1][1] * odd_count
            # 选择奇数的数字：当前和变为奇数（偶数和奇数为奇数）
            dp[i][1] = dp[i - 1][0] * odd_count + dp[i - 1][1] * even_count
    
        return dp[len(odd_even_count)][0]  # 返回最终和为偶数的组合数

if __name__ == "__main__":
    #  You can add more test cases here
    print(solution([123, 456, 789]) == 14)
    print(solution([123456789]) == 4)
    print(solution([14329, 7568]) == 10)

题目分析

这段代码的目的是使用 动态规划 来解决一个组合数的问题，即从多个数字组中选择一个数字，并计算这些选择的组合，使得所选数字的和为偶数的组合数。

问题的简化

我们有多个数字组（每个数字组包含一些数字），我们需要从每个数字组中选择一个数字，使得选出的数字和的总和是偶数。目标是计算出所有可能的选法，使得和为偶数的组合数。

动态规划的思路

1. 状态定义：

   • 用 dp[i][0] 来表示，选择前 i 个数字组中的数字时，数字和为偶数的组合数。
   • 用 dp[i][1] 来表示，选择前 i 个数字组中的数字时，数字和为奇数的组合数。

2. 初始状态：

   • 初始时没有选择任何数字时，和为偶数，这时候有且只有一种情况，所以 dp[0][0] = 1。也就是，选择 0 个数字时，和为偶数的组合数是 1。

3. 状态转移： 对于每一个数字组 i，我们有两种选择：

   • 选择偶数的数字：

     • 如果我们选择一个偶数，那么不管当前的总和是偶数还是奇数，和仍然保持偶数。所以，当前选择偶数的情况会更新 dp[i][0]（即和为偶数的情况）。
     • 如果之前选的和为偶数的数字组合数是 dp[i-1][0]，那么选择一个偶数后，和依然是偶数。
     • 如果之前选的和为奇数的数字组合数是 dp[i-1][1]，那么选择一个偶数后，和变回偶数。
     • 因此，dp[i][0] 更新的方式为：dp[i][0] = dp[i-1][0] * even_count + dp[i-1][1] * odd_count。

   • 选择奇数的数字：

     • 如果我们选择一个奇数，那么当前和的奇偶性将会翻转：

       • 如果当前和为偶数，选择奇数后和变为奇数。
       • 如果当前和为奇数，选择奇数后和变回偶数。

     • 所以，更新 dp[i][1]（即和为奇数的组合数）：

       • 如果之前选的和为偶数的数字组合数是 dp[i-1][0]，选择一个奇数后，和变为奇数。
       • 如果之前选的和为奇数的数字组合数是 dp[i-1][1]，选择一个奇数后，和变为偶数。

     • 因此，dp[i][1] 更新的方式为：dp[i][1] = dp[i-1][0] * odd_count + dp[i-1][1] * even_count。

4. 最终结果：

   • 最终，dp[len(odd_even_count)][0] 存储的是选取所有数字组时，和为偶数的组合数。