在《前集等价关系》 一文中，已经简单地描述了，等价关系的要求，以及前集的等价关系（Equivalence on Pre-set）的定义。因为，这个前集的等价关系，是对后面的讲述起到关键作用，因此，这里展开说说。
前集（pre-set）定义
前集（Pre-set）在LEAN中，定义为，
前集的等价关系（Equivalence Relation）定义
其等价关系（Equivalence Relation），定义为，
这里的Prop，指的是命题宇宙，即包含所有命题。这里，是LEAN的类型系统中的类型宇宙特性，详细内容可查看LEAN类型理论的文章。
那么，Equiv，可看作是一个函数， 如 Equiv x y，输入两个 前集（x y :PSet），输出一个命题（:Prop），如果，该输出的命题是有证明的（Inhabited），那么，前集 x y 相等。
即，该函数表达了，如果对于两前集（Pre-set），第一前集的任一元素都与第二前集中的一个元素相等，反之亦然，那么两前集（Pre-set）相等（equivalent）。
这里，根据 PSet 的定义，其索引函数是用于索引所有包含的元素（members），因此，在 Equiv 函数中，其输出的命题，就是 需要归纳式（Inductively）地证明两前集相等。因为，前集（Pre-set）的定义也是归纳式的（Inductive）。即，前集（Pre-set）的元素（members）也是前集（Pre-set）。
等价关系要求的定义
也就是说，当一个二元关系（Binary Relation）满足等价关系要求是，该二元关系成为等价关系。其定义如下：
可见，该 Equivalence 结构包括了，自反性，对称性，及 传递性，其类型是命题。也就是，Equivalence 包含了其三属性的命题。因此，要使一个二元关系 r，满足等价关系（Equivalence），需要满足其中的三个属性，即，自反性（refl），对称性（symm），及 传递性（trans）。
前集的等价关系（PSet.Equiv）的等价属性
那么，前集的等价关系（PSet.Equiv）是如何满足等价关系的要求（Equivalence）呢？有如下定义：
- 自反性（Reflexivity）：
- 相等替换（substitution）:
即，x = y, z = y，那么，x = z。
这里需要解析一下，
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前三个 〈_, _〉，对应着 x y z，表示忽略 x y z，其类型为 PSet。
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αβ 表示 Equiv x y 输出命题的左边部分。从 Equiv 的定义来看，其输出是一个与（∧, and）的命题，有左右两命题组成。因此，αβ 表示左边的部分，即 前集 x 中任一元素，都存在前集y的一个元素与之相等。即，αβ 是 Equiv x y 左命题的证明。
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同理第二点，βα 是 Equiv x y 右命题的证明；γβ 是 Equiv z y 左命题的证明； βγ 是 Equiv z y 右命题的证明。
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此时，需要通过 αβ，βα，γβ，βγ，来构建 Equiv x z 左右命题的证明。
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Equiv x z 左命题是，前集 x 中任一元素，都存在前集z的一个元素与之相等。
那么，上面的 fun a 的 a 就是前集x的任一元素，αβ a 为与之对应前集 y的元素 b，其中，ab 是元素 b 存在的证明，即代表了 a = b，亦 ab: a = b。
那么，通过，βγ b，找到与之对应的前集 z 的元素 c，其中 bc 是元素 c 存在的证明，即代表了 b = c，亦 bc: b = c。
那么，元素 c 便是 Equiv x z 左命题的 前集 z 中，与 前集x 中任一元素 a 对应的与之相等的元素。
另外，要证明存在命题，除了需要找到对应的元素外，还需提供其相等的证明，即 Equiv.euc ab bc，亦 a = b ∧ b = c。
这里有意思的是，一开始定义Equiv.euc 时，是对于前集间的相等，到其定义体（Body）里，即，Equiv.euc ab bc，是对于其元素间的相等，因为元素也是前集，因此递归下去求证。
那么，〈c, Equiv.euc ab bc〉 就是 Equiv x z 左命题 的证明了。
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同理第5点，〈a, Equiv.euc ba cb〉 为 Equiv x z 右命题 的证明。
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Equiv x z 左右命题都得以证明，因此，Equiv x z 也得以证明。
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对称性（Symmetricity）
- 传递性（Transitivity）
这里的参数名用 h₁，h₂来表示，是一种惯例（Convention），h for hypothesis。