图论导引 - 目录、引言、第一章 - 11/05

概述

参考书目:《Introduction to Graph Theory》 by Robin J.Wilson

发博文仅作为笔记记录。

目录

第 1 章 引言(Introduction)

  • 什么是图(What is a graph?):通过道路地图和电气网络等实例引出图的概念,包括顶点、边、度等基本元素,介绍了图的多种表示方式及相关概念,如简单图、多重边、环、有向图等,还提及了路径、循环、连通性、树等基本概念。

第 2 章 定义和示例(Definitions and examples)

  • **定义 (Definition):**正式定义了简单图和一般图,引入了同构、连通性、邻接、度、子图、矩阵表示等概念。

  • 示例(Examples):列举了多种重要类型的图,如零图、完全图、循环图、路径图、轮图、正则图、柏拉图图、二分图、立方体图、图的补图等,阐述了它们的定义和特点。

  • 三个谜题(Three puzzles):以 "八个圆圈问题""六个人聚会问题""四个立方体问题" 为例。

第 3 章 路径和循环(Paths and cycles)

  • 连通性(Connectivity)

  • 欧拉图(Eulerian graphs)

  • 哈密顿图(Hamiltonian graphs)

  • 一些算法(Some algorithms):介绍了最短路径问题(如迪杰斯特拉算法)、中国邮递员问题(在欧拉回路基础上解决)和旅行商问题(目前无高效算法,可通过近似算法求解)。

第 4 章 树(Trees)

  • 树的性质(Properties of trees):定义了森林(无环图)和树(连通森林),证明了树的多个等价性质。

  • 计数树(Counting trees)

  • 更多应用(More applications)

第 5 章 平面性(Planarity)

  • 平面图(Planar graphs)

  • 欧拉公式(Euler's formula)

  • 其他曲面上的图(Graphs on other surfaces)

  • 对偶图(Dual graphs)

  • 无限图(Infinite graphs)

第 6 章 图的着色(Colouring graphs)

  • 顶点着色(Colouring vertices)

  • 布鲁克斯定理(Brooks' theorem)

  • 地图着色(Colouring maps)

  • 边着色(Colouring edges)

  • 色多项式(Chromatic polynomials)

第 7 章 有向图(Digraphs)

  • 定义(Definitions)

  • 欧拉图和竞赛图(Eulerian digraphs and tournaments)

  • 马尔可夫链(Markov chains)

第 8 章 匹配、婚姻与门格尔定理(Matching, marriage and Menger's theorem)

  • 霍尔婚姻定理(Hall's'marriage'theorem)

  • 横截理论(Transversal theory)

  • 霍尔定理的应用(Applications of Hall's theorem)

  • 门格尔定理(Menger's theorem)

  • 网络流(Network flows)

第 9 章 拟阵(Matroids)

  • 拟阵简介(Introduction to matroids)

  • 拟阵的例子(Examples of matroids)

  • 拟阵与图(Matroids and graphs)

  • 拟阵与横截(Matroids and transversals)

前言

学习图论的前提:具备基本的初等集合论、矩阵论知识,了解抽象代数知识。

本书可以分为四部分:

  • 第 1 ~ 4 章节:基础部分,包括图的定义和示例、连通性、欧拉路径和哈密顿路径等。

  • 第 5 ~ 6 章:关于平面性和着色的内容,特别提及了四色定理。

  • 第 7 ~ 8 章:有向图理论和横截理论,应用于关键路径分析、马尔可夫链、网络流

  • 第 9 章:拟阵,联系前面章节,并介绍最新的发展

第一章:引入 Introduction

什么是图 graph?

基本概念

图、点、边、度
  • 顶点 vertices

  • 边 edge

  • 图 graph

    • 一个图是一组顶点以及顶点如何连接的表示。

    • 任何度量属性都是无关紧要的。

    • 上述意思是,哪怕不同应用场景中属性不同,但是表示出的顶点和边的关系相同,就可以视为同一个图。

  • 度 degree

    • 顶点的度是以此顶点为端点的边的数量
简单图、环、多重边
  • 简单图 simple graphs

    • 没有环或多重边的图
  • 环 loop

  • 多重边 multiple edges

    • 一对顶点之间存在多条边
有向图、路径(第 3 章)
  • 有向图 directed graphs

  • 路径 walks

    • 一个顶点到达另一个顶点的方式

    • 由一系列边组成,一条边紧跟着另一条边

  • 简单路径 path

    • 路径中的每个顶点只出现一次
  • 环 cycle

    • 路径从起点出发又回到该起点
  • 欧拉图 Eulerian

    • 图中包含恰好经过图中每条边一次的路径,并且该路径在初始顶点结束
  • 哈密顿图 Hamiltonian

    • 图中包含恰好经过图中每个顶点一次的路径,并且该路径在初始顶点结束
连通图、非连通图(第 3 章)
  • 连通图 connected graph

    • 任何两个顶点都可以由一条路径相连
  • 非连通图 disconnected graph

    • 一个图由多个部分(parts)组成

    • 其中每个部分可能是一个连通子图

树(第 4 章)
  • 树 trees

    • 每对顶点之间只有一条路径连通图

    • 树可以被定义为不含圈的连通图

平面图 planar graph(第 5 章)
  • 可以重新绘制而没有交叉的图被称为平面图。
着色问题 colouring problem(第 6 章)
  • 平面图在着色问题中也起着重要作用。

  • 着色问题

    • 尝试用给定数量 的颜色给一个简单图顶点着色 ,使得图的每条边连接不同颜色的顶点
  • 四色定理 four-colour theorem

    • 如果图是平面图,那么我们总是可以只用四种颜色以这种方式给其顶点着色

    • 我们总是可以用四种颜色给任何地图的国家着色,使得没有两个相邻的国家使用相同的颜色

婚姻问题 marriage problem(第 8 章)
  • 婚姻问题

    • 假设有一群女孩和一群男孩,每个女孩都认识几个男孩。婚姻问题就是探讨在什么条件下,能够让每个女孩都嫁给她认识的男孩,并且不存在冲突**(例如两个女孩不能嫁给同一个男孩等情况)**。
  • 婚姻问题和在图中寻找连接两个给定顶点的不相交路径的问题相关。

    • 问题转化为图模型

      • 将婚姻问题中的女孩和男孩分别看作图中的不同类型顶点。例如,用一种顶点表示女孩集合,另一种顶点表示男孩集合。如果一个女孩认识一个男孩,就在代表这个女孩的顶点和代表那个男孩的顶点之间连一条边。这样就构建了一个图,其中顶点的分布和连接关系反映了女孩与男孩之间的认识情况。
    • 不相交路径与婚姻匹配的联系

      • 寻找可行匹配 :在这个图中,要实现每个女孩都嫁给她认识的男孩,就相当于从女孩顶点集合到男孩顶点集合找到一组不相交的路径 (这里的不相交意味着一个男孩不会被多个女孩同时选择,即路径不能共用顶点)。每条路径的起点是一个女孩顶点,终点是她可以匹配的男孩顶点,这些路径的集合就代表了一种可能的婚姻匹配方案。
      • 判断匹配的存在性:如果能够找到这样一组不相交路径,使得每个女孩顶点都能通过一条路径连接到一个男孩顶点,那么就意味着存在一种满足条件的婚姻安排,即每个女孩都能嫁给她认识的男孩。反之,如果找不到这样的不相交路径,就说明不存在满足所有女孩都嫁给认识男孩的婚姻安排。
  • 横截理论 transversal theory

    • 横截理论(Transversal Theory)是组合数学中的一个重要理论,主要研究集合系统的特定性质和结构,特别是关于元素与集合之间的相交关系,它与婚姻问题等组合问题密切相关。
拟阵(第 9 章)

拟阵理论是对具有在其上定义的 "独立结构" 的集合的研究,它既推广了向量空间中的线性独立性,又推广了本书前面关于图和横截的一些结果。

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