软件设计师-上午题-16 算法(4-5分)

算法题号一般为62-65题(数据结构与算法题号为57-65，共9分)，分值一般为4-5分。

[1 回溯法](#1 回溯法)

[1.1 N皇后问题](#1.1 N皇后问题)

[1.2 非递归求解N皇后问题](#1.2 非递归求解N皇后问题)

[1.3 递归求解N皇后问题](#1.3 递归求解N皇后问题)

[1.4 真题](#1.4 真题)

[2 分治法](#2 分治法)

[2.1 最大字段和问题](#2.1 最大字段和问题)

[2.2 真题](#2.2 真题)

[3 动态规划](#3 动态规划)

[3.1 0-1背包问题](#3.1 0-1背包问题)

[3.2 真题](#3.2 真题)

[4 贪心法](#4 贪心法)

[4.1 部分背包问题](#4.1 部分背包问题)

[4.2 真题](#4.2 真题)

[5 算法总和](#5 算法总和)

[5.1 真题](#5.1 真题)

1 回溯法

1.1 N皇后问题

1.2 非递归求解N皇后问题

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#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define N 10

int q[N + 1]; // 存储皇后的列号

int check(int j) { // 检查第 j 个皇后的位置是否合法
    int i;
    for (i = 1; i < j; i ++ ) {
        if (q[i] == q[j] || abs(i - j) == abs(q[i] - q[j])) { // 判断是否在同一列和同一斜线上
            return 0;
        }
    }

    return 1;
}

void queen() { // 求解 N 皇后 方案
    int i;
    for (i = 1; i <= N; i ++ ) {
        q[i] = 0;
    }

    int answer = 0; // 方案数

    int j = 1; // 表示正在摆放第 j 个皇后
    while (j >= 1) {
        q[j] = q[j] + 1; // 让第 j 个皇后向后一列摆放

        while (q[j] <= N && !check(j)) { // 判断第 j 个皇后的位置是否合法
            q[j] = q[j] + 1; // 不合法就往后一个位置摆放
        }

        if (q[j] <= N) { // 表示第 j 个皇后的找到一个合法的摆放位置
            if (j == N) { // 找到了 N 皇后的一组解
                answer = answer + 1;
                printf("方案%d：", answer);

                for (i = 1; i <= N; i ++ ) {
                    printf("%d ", q[i]);
                }
                printf("\n");
            } else {
                j = j + 1; // 继续摆放下一个皇后
            }
        } else { // 表示第 j 个皇后找不到一个合法的摆放位置
            q[j] = 0; // 还原第 j 个皇后的位置
            j = j - 1; // 回溯
        }
    }
}

int main() {
    queen();

    return 0;
}

1.3 递归求解N皇后问题

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#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define N 10

int answer = 0;
int q[N + 1]; // 存储皇后的列号

int check(int j) { // 检查第 j 个皇后的位置是否合法
    int i;
    for (i = 1; i < j; i ++ ) {
        if (q[i] == q[j] || abs(i - j) == abs(q[i] - q[j])) { // 判断是否在同一列和同一斜线上
            return 0;
        }
    }

    return 1;
}

void queen(int j) {
    int i;
    for (i = 1; i <= N; i ++ ) {
        q[j] = i;

        if (check(j)) { // 当摆放的皇后位置为合法时
            if (j == N) { // 找到了 N 皇后的一组解
                answer = answer + 1;
                printf("方案%d：", answer);

                for (i = 1; i <= N; i ++ ) {
                    printf("%d ", q[i]);
                }
                printf("\n");
            } else {
                queen(j + 1); // 递归摆放下一个皇后的位置
            }
        }
    }
}

int main() {
    queen(1);

    return 0;
}

1.4 真题

1.2011年上半年第62题

2 分治法

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#include <stdio.h>
#include <sched.h>

void Merge(int A[], int p, int q, int r) {
    int i, j, k;

    int L[50], R[50];
    int n1 = q - p + 1, n2 = r - q;
    for (i = 0; i < n1; i ++ ) {
        L[i] = A[p + i];
    }

    for (j = 0; j < n2; j ++ ) {
        R[j] = A[q + j + 1];
    }

    L[n1] = INT_MAX;
    R[n2] = INT_MAX;

    i = 0;
    j = 0;
    for (k = p; k < r + 1; k ++ ) {
        if (L[i] < R[j]) {
            A[k] = L[i];
            i ++ ;
        } else {
            A[k] = R[j];
            j ++ ;
        }
    }
}

void MergeSort(int A[], int p, int r) {
    int q;
    if (p < r) {
        q = (p + r) / 2;
        MergeSort(A, p, q);
        MergeSort(A, q + 1, r);

        Merge(A, p, q, r);
    }
}

int main() {
    int A[] = {4, 1, 3, 6, 8, 5, 2, 9};
    MergeSort(A, 0, 7);

    int i;
    for (i = 0; i < 8; i ++ ) {
        printf("%d ", A[i]);
    }

    return 0;
}

2.1 最大字段和问题

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int MaxSubSum(int *Array, int left, int right) {
    int sum = 0;
    int i;

    if (left == right) {
        if (Array[left] > 0)
            sum = Array[left];
        else
            sum = 0;
    } else {
        int center = (left + right) / 2;
        int leftSum = MaxSubSum(Array, left, center);
        int rightSum = MaxSubSum(Array, center + 1, right);

        int s1 = 0;
        int lefts = 0;
        for (i = center; i >= left; i -- ) {
            lefts += Array[i];
            if (lefts > s1)
                s1 = lefts;
        }

        int s2 = 0;
        int rights = 0;
        for (i = center + 1; i <= right; i ++ ) {
            rights += Array[i];
            if (rights > s2)
                s2 = rights;
        }

        sum = s1 + s2;

        if (sum < leftSum)
            sum = leftSum;

        if (sum < rightSum)
            sum = rightSum;
    }

    return sum;
}

int main() {
    int *Array = (int *) malloc(6 * sizeof(int));
    Array[0] = -2;
    Array[1] = 11;
    Array[2] = -4;
    Array[3] = 13;
    Array[4] = -5;
    Array[5] = -2;

    int result = MaxSubSum(Array, 0, 5);
    printf("%d", result);

    return 0;
}

2.2 真题

1.2009年上半年第63题

2.2011年上半年第63题

3.2011年下半年第63题

4.2021年上半年第63题

3 动态规划

3.1 0-1背包问题

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#include <stdio.h>

#define N 4 // 物品数量
#define W 5 // 背包容量

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int main() {
    int v[] = {0, 2, 4, 5, 6}; // 物品价值数组
    int w[] = {0, 1, 2, 3, 4}; // 物品重量数组

    int f[N + 1][W + 1] = {}; // 子问题解数组

    int i, j;
    for (i = 1; i <= N; i ++ ) {
        for (j = 1; j <= W; j ++ ) {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; // 默认不选第 i 个物品

            if (j >= w[i]) { // 选第 i 个物品的前提条件
                // 等于 不选第 i 个物品 和 选第 i 个物品 两者的较大值
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
            }

            // 上方是写法 1
            /* ============================================================ */
            // 下方是写法 2 

            /*
            if (j >= w[i]) { // 选第 i 个物品的前提条件
                // 等于 不选第 i 个物品 和 选第 i 个物品 两者的较大值
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
            } else { // 不选第 i 个物品
                f[i][j] = f[i - 1][j]; // 等于 从前 i - 1 个物品中选，背包容量为 j 时的最大价值
            }
            */
        }
    }

    printf("%d\n", f[N][W]);

    for (i = 0; i <= N; i ++ ) {
        for (j = 0; j <= W; j ++ ) {
            printf("%d ", f[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

3.2 真题

1.2009年上半年第64题

2.2010年下半年第63题

3.2016年上半年第62、63、64、65题

4.2016年上半年第64、65题

5.2017年上半年第62、63、64、65题

6.2017年下半年第62、63题

7.2019年上半年第62、63、64、65题

4 贪心法

4.1 部分背包问题

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#include <stdio.h>

#define N 5 // 物品数量
#define W 10 // 背包容量

int v_temp[N + 1], w_temp[N + 1]; // 物品价值数组 和 物品重量数组的临时数组
double vw_temp[N + 1]; // 物品单位重量价值数组的临时数组

double answer[N + 1]; // 解方案数组

// 归并排序
void merge_sort(int v[], int w[], double vw[], int l, int r) {
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(v, w, vw, l, mid), merge_sort(v, w, vw, mid + 1, r);

    int i = l, j = mid + 1, k = 1;
    while (i <= mid && j <= r)
    {
        if (vw[i] >= vw[j]) { // 按照 物品单位重量价值数组 从大到小的顺序排序
            vw_temp[k] = vw[i];
            v_temp[k] = v[i];
            w_temp[k] = w[i];

            k ++ , i ++ ;
        } else {
            vw_temp[k] = vw[j];
            v_temp[k] = v[j];
            w_temp[k] = w[j];

            k ++ , j ++ ;
        }
    }

    while (i <= mid) {
        vw_temp[k] = vw[i];
        v_temp[k] = v[i];
        w_temp[k] = w[i];

        k ++ , i ++ ;
    }

    while (j <= r) {
        vw_temp[k] = vw[j];
        v_temp[k] = v[j];
        w_temp[k] = w[j];
        k ++ , j ++ ;
    }

    for (i = l, j = 1; i <= r; i ++ , j ++ ) {
        vw[i] = vw_temp[j];
        v[i] = v_temp[j];
        w[i] = w_temp[j];
    }
}

// 显示物品价值、重量、单位重量价值数组
void show(int v[], int w[], double vw[]) {
    int i;

    printf("物品价值数组：");
    for (i =  1; i <= N; i ++ ) printf("%d ", v[i]);
    printf("\n");

    printf("物品重量数组：");
    for (i =  1; i <= N; i ++ ) printf("%d ", w[i]);
    printf("\n");

    printf("物品单位重量价值数组：");
    for (i =  1; i <= N; i ++ ) printf("%.1lf ", vw[i]);
    printf("\n");
}

// 求解部分背包问题最优解
double Max_Value(int v[], int w[], double vw[]) {
    double result = 0.0;

    int i;
    int W_temp = W;
    for (i = 1; i <= N; i ++ ) {
        if (W_temp >= w[i]) { // 当前背包容量 大于等于 物品重量 就直接全部装入到背包中
            answer[i] = 1.0;

            result = result + v[i];

            W_temp = W_temp - w[i];
        } else { // 当前背包容量 小于 物品重量 就应该将该物品的一部分装入到背包中
            break;
        }
    }

    if (W_temp > 0 && i <= N) { // 当前背包还有剩余容量 并且 还有可选的物品
        answer[i] = (double) W_temp / w[i];

        result = result + W_temp * vw[i];
        // result = result + (double) W_temp / w[i] * v[i];
    }

    return result;
}

int main() {
    int v[] = {0, 6, 3, 5, 4, 6}; // 物品价值数组
    int w[] = {0, 2, 2, 6, 5, 4}; // 物品重量数组

    double vw[N + 1]; // 物品单位重量价值数组

    int i;
    // 初始化 物品单位重量价值数组
    for (i = 1; i <= N; i ++ ) vw[i] = (double) v[i] / w[i];

    printf("排序前：\n");
    show(v, w, vw);

    merge_sort(v, w, vw, 1, N);

    printf("排序后：\n");
    show(v, w, vw);

    double result = Max_Value(v, w, vw);
    printf("\nresult = %.2lf\n", result);
    printf("\n");

    printf("解方案结果：");
    for (i = 1; i <= N; i ++ ) printf("%.1lf ", answer[i]);

    return 0;
}