二叉树余题，排序、直接插入排序、希尔排序

目录

一、余题

二、排序

1.概念

2.常见排序

3、插入排序

3.1、直接插入排序

3.2、希尔排序

一、余题

1.某完全⼆叉树按层次输出（同⼀层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全⼆叉树的前序序列为（A）

A ABDHECFG

B ABCDEFGH

C HDBEAFCG

D HDEBFGCA

2.⼆叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则⼆叉树根结点为（A）

A E

B F

C G

D H

3.设⼀课⼆叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则⼆叉树前序遍历序列为（D）。

A adbce

B decab

C debac

D abcde

4.某⼆叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同⼀层从左到右）的序列为（A）

A FEDCBA

B CBAFED

C DEFCBA

D ABCDEF

二、排序

1.概念

排序：所谓排序，就是使⼀串记录，按照其中的某个或某些关键字的⼤⼩，递增或递减的排列起来的操作。

2.常见排序

排序分为：比较排序和非比较排序

以下为比较排序：

3、插入排序

直接插⼊排序是⼀种简单的插⼊排序法，其基本思想是：把待排序的记录按其关键码值的⼤⼩逐个插⼊到⼀个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插⼊完为⽌，得到⼀个新的有序序列。

3.1、直接插入排序

当插⼊第 i(i>=1) 个元素时，前⾯的 array $0$ , array $1$ , ... , array $i-1$ 已经排好序，此时⽤ array $i$ 的排序码与 array $i-1$ , array $i-2$ , ... 的排序码顺序进⾏⽐较，找到插⼊位置即将 array $i$ 插⼊，原来位置上的元素顺序后移
复制代码
void InsertSort(int* a, int n)
{
 for (int i = 0; i < n-1; i++)
 {
  int end = i ;
  int tmp = a[end + 1];
  while (end >= 0)
  {
   if (a[end] > tmp)
   {
    a[end + 1] = a[end];
    end--;
   }
   else
   {
    break;
   }
  }
 a[end + 1] = tmp;
 }
}
元素集合越接近有序，直接插⼊排序算法的时间效率越⾼

时间复杂度：O(N^2) -->最差的情况（当数组数据大的在前面，数据小的都在后面）

O（N）-->最好的情况（当数组本身有序或数据小的在前，数据大的在后面）

空间复杂度：O(1)

3.2、希尔排序

希尔排序法⼜称缩⼩增量法。希尔排序法的基本思想是：先选定⼀个整数（通常是gap = n/3+1），把待排序⽂件所有记录分成各组，所有的距离相等的记录分在同⼀组内，并对每⼀组内的记录进⾏排序，然后gap=gap/3+1得到下⼀个整数，再将数组分成各组，进⾏插⼊排序，当gap=1时，就相当于直接插⼊排序。

它是在直接插⼊排序算法的基础上进⾏改进⽽来的，综合来说它的效率肯定是要⾼于直接插⼊排序算法的。

希尔排序是对直接插⼊排序的优化。

当 gap > 1 时都是预排序，⽬的是让数组更接近于有序。当 gap == 1 时，数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体⽽⾔，可以达到优化的效果。

存在大的数据在前，小的数据在后，但是每组比较的数据量要小

数据量大，但是比较次数少

小的数据在前面分组排序的过程中已经到前面去了，大的数据已经放到后面

gap > 1 , 预排序

gap == 1 , 直接插入排序
复制代码
void ShellSort(int * a,int n)
{
 int gap = n;
 while (gap > 1)
 {
  //推荐写法：除3
  gap = gap / 3 + 1;
  for (int i = 0; i < n - gap; i++)
  {
   int end = i;
   int tmp = a[end + gap];
   while (end >= 0)
   {
    if (a[end] > tmp)
    {
     a[end + gap] = a[end];
     end -= gap;
    }
    else
    {
     break;
    }
   }
   a[end + gap] = tmp;
  }
 }
}
这其中gap/2导致循环次数增多，+1是为了保证最后一次gap一定会变成1

希尔排序的时间复杂度计算希尔排序的时间复杂度估算：

外层循环：外层循环的时间复杂度可以直接给出为： O(log2 n) 或者 O(log3 n) ，即 O(log n)

内层循环：假设n=9,若gap为3,则一共gap组,每组n/gap个数据

假设⼀共有n个数据，合计gap组，则每组为n/gap个；在每组中，插⼊移动的次数最坏的情况下为 1 + 2 + 3 + .... + ( n / gap − 1，⼀共是gap组，因此： n 1))

总计最坏情况下移动总数为： gap ∗ $1 + 2 + 3 + .... + ( n / gap -1)$

gap取值有（以除3为例）：n/3 n/9 n/27 ...... 2 1

• 当gap为n/3时，移动总数为： n / 3 * (1 + 2) = n

• 当gap为n/9时，移动总数为： n / 9 * (1 + 2 + 3 + .... + 8) = n / 9 * 8(1 + 8) / 2 = 4n

• 最后⼀躺，gap=1即直接插⼊排序，内层循环排序消耗为n

因此，希尔排序在最初和最后的排序的次数都为n，即前⼀阶段排序次数是逐渐上升的状态，当到达某⼀顶点时，排序次数逐渐下降⾄n，⽽该顶点的计算暂时⽆法给出具体的计算过程

希尔排序时间复杂度不好计算，因为 gap 的取值很多，导致很难去计算，因此很多书中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定。《数据结构(C语⾔版)》--- 严蔚敏书中给出的时间复杂度为：

最坏的时间复杂度为O（N ^ 2）---> 数组本身有序的情况并不多见

这相比冒泡排序的它只能是O（N ^ 2）