哈密顿图 Hamiltonian Graphs
定义
欧拉图：给定的连通图 G G G 是否存在一条包含其每一条边 的闭迹。
哈密顿图（Hamiltonian graph）：图中存在一条闭迹 恰好一次经过 G G G 的每一个顶点。
- 这样的迹一定是一个圈 ，除了当 G G G 是图 N 1 N_1 N1（只有 1 个顶点的零图）时。
- 这样的圈是一个哈密顿圈（Hamiltonian cycle） ，而 G G G 是一个哈密顿图。
半哈密顿图：如果一个非哈密顿图 G G G 存在一条经过每一个顶点 的路径，那么 G G G 是半哈密顿图。
- 不一定封闭！
哈密顿图的判定
如何判定一个图是不是哈密顿图？
其中最著名的可能是由 G.A.Dirac 提出的，被称为狄拉克定理（Dirac's theorem）。我们从 O.Ore（奥勒）的一个更一般的结果推导出狄拉克定理。奥勒定理（Ore's Theorem）是图论中的一个经典定理，它给出了图是哈密顿图的一个充分条件。
定理7.1（奥勒，1960）：设 G G G 是一个具有 n n n（ n ≥ 3 n\geq3 n≥3）个顶点的简单图，如果对于每一对不相邻的顶点 v v v 和 w w w，都有 d e g ( v ) + d e g ( w ) ≥ n deg(v)+deg(w)\geq n deg(v)+deg(w)≥n，那么 G G G 是哈密顿图。
证明：
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反证法假设 ：假设存在一个不包含哈密顿圈 的非哈密顿图 G G G，它满足对于每一对非相邻顶点 v v v 和 w w w，都有 deg ( v ) + deg ( w ) ≥ n \deg(v) + \deg(w) \geq n deg(v)+deg(w)≥n。
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最长路径的存在性 ：在 G G G 中，我们可以找到一个最长的路径 P P P。这条路径可能不包含 G G G 的所有顶点，但包含尽可能多的顶点。
- 设该路径 P P P 的顶点序列为 v 1 , v 2 , ... , v k v_1, v_2, \dots, v_k v1,v2,...,vk ，其中路径的顶点数 k < n k < n k<n ，一定是小于 n n n，否则就是半哈密顿图。
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路径的性质 ：由于 P P P 是最长路径，故两个端点 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 一定不相邻 ，否则我们可以通过加入边 v k v 1 v_kv_1 vkv1 将 P P P 封闭成一个圈，并且尝试在该圈上找到更长的路径，这与假设 P P P 是最长路径矛盾。
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非相邻顶点的度数和 ：由于 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 不相邻，根据假设条件，我们有 deg ( v 1 ) + deg ( v k ) ≥ n \deg(v_1) + \deg(v_k) \geq n deg(v1)+deg(vk)≥n，说明 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 总共至少与 n n n 个顶点相连 。
- 由于 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 都位于路径 P P P 的端点，且 P P P 是最长路径，说明 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 不可能和路径外的其他 n − k n-k n−k 个顶点相连。
- 而 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 又总共至少与 n n n 个顶点相连，说明 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 只能和路径 P P P 中的顶点相连，即度数不会超过 n − k + 1 n-k+1 n−k+1。
- 同时，v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 至少各自与 P P P 中的一个其他顶点相连 ，不会存在其中一个端点度为 1 的情况。
- 假如 v 1 v_1 v1 度为 1，那么 v k v_k vk 的度为 n − 1 n-1 n−1，这与 v k v_k vk 的度不会超过 n − k + 1 n-k+1 n−k+1 矛盾。
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路径 P P P 中必存在圈 ：综上所述，存在至少一个顶点 v i v_i vi（ 1 < i < n − 1 1<i<n-1 1<i<n−1）在 P P P 上与 v 1 v_1 v1 相邻，并且 v i − 1 v_{i−1} vi−1 与 v k v_k vk 相邻。这意味着我们可以将 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 连接起来，形成一个圈： v 1 → v 2 → ⋯ → v i − 1 → v k → v k − 1 → ⋯ → v i + 1 → v i → v 1 v_1→v_2→\cdots→v_{i - 1}→v_k→v_{k - 1}→\cdots→v_{i + 1}→v_i→v_1 v1→v2→⋯→vi−1→vk→vk−1→⋯→vi+1→vi→v1（如图 7.5 所示）。
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拓展路径构成矛盾 ：最长路径 P P P 中形成了圈，设 u u u 是一个不在 P P P 中的顶点，考虑 u u u 与路径 P P P 上顶点的连接情况。
- 情况 1 ：如果 u u u 与 v 1 v_1 v1 或 v k v_k vk 中的一个顶点相邻。
- 这样就可以将 u u u 加入到路径 P P P 中，使得 P P P 变得更长，从而与 P P P 是最长路径的假设矛盾。
- 情况 2 ：如果 u u u 与 v 1 v_1 v1 和 v k v_k vk 都不相邻。
- 根据假设条件，对于不相邻的 v 1 v_1 v1 和 u u u，有 d e g ( v 1 ) + deg ( u ) ≥ n deg(v_1) + \deg(u) \geq n deg(v1)+deg(u)≥n。同理，对于不相邻的 v k v_k vk 和 u u u 也有 d e g ( v k ) + deg ( u ) ≥ n deg(v_k) + \deg(u) \geq n deg(vk)+deg(u)≥n。因此 u u u 必然与路径 P P P 中的许多顶点相邻。
- 那么通过路径中的圈，该路径总能和顶点 u u u 相连，于是可以添加顶点 u u u 到该路径 P P P 中，形成更长的路径，这与 P P P 是最长路径的假设相矛盾。
- 情况 1 ：如果 u u u 与 v 1 v_1 v1 或 v k v_k vk 中的一个顶点相邻。
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结论 ：因此，我们的假设是错误的，如果在图中对于每一对不相邻的顶点 v v v 和 w w w，都有 d e g ( v ) + d e g ( w ) ≥ n deg(v)+deg(w)\geq n deg(v)+deg(w)≥n，图 G G G 中必然包含一个具有 n n n 个顶点且存在圈的路径，即哈密顿圈，图 G G G 肯定是哈密顿图。
推论7.2（狄拉克，1952）：设 G G G 是一个具有 n n n（ n ≥ 3 n\geq3 n≥3）个顶点的简单图，如果对于每个顶点 v v v，都有 d e g ( v ) ≥ n / 2 deg(v)\geq n/2 deg(v)≥n/2，那么 G G G 是哈密顿图。
证明：这个结果直接由定理7.1得出，因为对于每一对顶点 v v v 和 w w w，无论它们是否相邻，都有 d e g ( v ) + d e g ( w ) ≥ n deg(v)+deg(w)\geq n deg(v)+deg(w)≥n。