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一.二叉搜索树
1.概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
2.二叉树的遍历
二叉树搜索树因为左边都比根小,右边都比根大,所以中序遍历的结果为升序
cpp
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}3.二叉树的插入
因为二叉搜索树的特殊性质,所以在插入值的时候我们需要与父亲来比较,以此决定插入在左树还是右树
cpp
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}4.二叉树的查找
对于查找是比较容易的,只需要与根比较,如果比根大就到右树找,比根小就到左树找
cpp
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}5.二叉树的删除
对于删除就比较复杂,首先可以分为以下情况:
- 删除的节点无孩子节点
- 删除的节点只有左孩子节点
- 删除的节点只有右孩子节点
- 删除孩子的左右节点都有
通过上图可以看到,删除叶子节点时直接删除,而对于右子树为空的节点,让父亲指向删除节点的左孩子,左子树为空,父亲指向删除节点的右孩子,而当我们删除左右都不为空时,就不能直接删除了,需要替代法删除
cpp
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到删除值,开始删除
//左为空,父亲指向我的右
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_right == cur)
parent->_right = cur->_right;
else
parent->_left = cur->_right;
}
delete cur;
}
//右为空,父亲指向我的左
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
//左右都不为空,不能直接删除,用替代法
//用左树的最大节点或右树的最小节点替代
else
{
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
//替代节点
cur->_key = rightMin->_key;
//替换为删除rightMin,rightMin左为空
if (rightMin == rightMinParent->_left)
rightMinParent->_left = rightMin->_right;
else
rightMinParent->_right = rightMin->_right;
delete rightMin;
}
return true;
}
}
return false;
}
cpp
void TestBSTree()
{
BSTree<int> t;
int a[] = { 5,3,4,1,7,8,2,6,0,9 };
for (auto ch : a)
{
t.Insert(ch);
}
t.InOrder();
t.Erase(7);
t.InOrder();
//删除叶子
t.Erase(2);
t.InOrder();
//左为空或右为空
t.Erase(8);
t.Erase(1);
t.InOrder();
//左右都不为空
t.Erase(5);
t.InOrder();
for (auto ch : a)
{
t.Erase(ch);
}
t.InOrder();
}
二.二叉搜索树的应用
1.key模型
上述实现的便是key模型
2.KV(key,value)模型
每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<key,value>的键值对
KV模型只需要在key模型基础上稍微改动,在这里直接给出
cpp
//key/value模型
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K, V>* _left;
BSTreeNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key, const V& value) :_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key),_value(value) { }
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//找到删除值,开始删除
//左为空,父亲指向我的右
if (cur->_left == nullptr)
{
//左树全为空且删除根
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_right == cur)
parent->_right = cur->_right;
else
parent->_left = cur->_right;
}
delete cur;
}
//右为空,父亲指向我的左
else if (cur->_right == nullptr)
{
//右树为空且删除根
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
}
//左右都不为空,不能直接删除,用替代法
//用左树的最大节点或右树的最小节点替代
else
{
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
//替代节点
cur->_key = rightMin->_key;
//替换为删除rightMin,rightMin左为空
if (rightMin == rightMinParent->_left)
rightMinParent->_left = rightMin->_right;
else
rightMinParent->_right = rightMin->_right;
delete rightMin;
}
return true;
}
}
return false;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};对于KV模型实际中也有许多作用,比如我们可以实现一个字典
cpp
void TestBSTree()
{
BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("sort", "排序");
dict.Insert("string", "字符串");
dict.Insert("vector", "数组");
dict.Insert("tree", "树");
string str;
while (cin >> str)
{
BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
if (ret)
{
cout << ret->_value << endl;
}
else
{
cout << "单词不存在" << endl;
}
}
}
也可以用来统计物品出现的次数
cpp
void TestBSTree()
{
string strArr[] = { "西瓜","西瓜", "橘子", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "葡萄", "西瓜", "橘子", "苹果", "西瓜" };
BSTree<string, int> countTree;
for (auto str : strArr)
{
BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
if (ret == nullptr)
{
countTree.Insert(str, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.InOrder();
}