【贪心算法】贪心算法四

贪心算法四

1.最长回文串
2.增减字符串匹配
3.分发饼干
4.最优除法

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1.最长回文串

题目链接： 409. 最长回文串

题目分析：

给一个包含大小字母的字符串，从里面挑选出来一些字母构成一个最长回文串，然后返回它的长度。

算法原理：

我们可以先统计每个字符的个数，为什么先统计次数呢，我们发现构建的回文串从中间劈开后，相同的字符左边放一个右边放一个。把所有能用的字符能放就全部放那就是我们的贪心策略。

所以先统计每个字符出现的个数，然后以中间线为分割线左边放一个右边放一个。

上面是我们的总体思路，接下来考虑一下细节问题。字符可能是偶数个，也可能是奇数个。如果是偶数的话太好了全都放。但是如果是奇数个就有问题了，因为我们要左边放一个右边放一个要能对称，此时最贪心的想法就是奇数-1变成偶数然后放。

虽然上面把一左一右的搞定的，但是还是有一个小问题，回文串中间这个分割线也是可以摆一个字符，只要我们在统计字符个数的时候发现某个字符出现了奇数次，一左一右我们肯定会漏这一个字符，所以中间这里可以把这个字符加上。

所以我们策略出来了，如果偶数全部加上，如果是奇数 - 1 后在加上，所以情况都考虑完，在考虑中间这个地方能不能摆，取决于有没有出现一个字符出现奇数次，如果出现就在中间摆一个。

写代码的时候奇偶是可以放在一块写的，假设字符出现 x 次，ret += x / 2 * 2。因为算 / 2 是一个向下取整， 7 / 2 = 3, 3 * 2 =6，相当于就是7 - 1 = 6，如果是偶数 / 2 * 2 是不变的。

还有在最后要统计一下是否有个字符出现奇数次，其实也没有必要，其实用最后统计出来的ret和s.size()比较一下，如果小于 ret + 1，原因就是如果字符都出现偶数那么ret = s.size() 一左一右，如果小于那肯定有字符出现了奇数次。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int longestPalindrome(string s) {

        // 1.计数 -- 用数组模拟哈希表
        int hash[127] = {0};
        for(auto ch : s) hash[ch]++; 

        // 2.统计结果    
        int ret = 0;
        for(auto x : hash) ret += x / 2 * 2;
        if(ret < s.size()) ++ret;
        return ret;
    }
};

2.增减字符串匹配

题目链接： 942. 增减字符串匹配

题目分析：

由范围 [0,n] 内所有整数组成的 n + 1 个整数的排列序列可以表示为长度为 n 的字符串 s ，其中:

如果 perm[i] < perm[i + 1] ，那么 s[i] == 'I'

如果 perm[i] > perm[i + 1] ，那么 s[i] == 'D'

其实s字符串就是描述[0,n]组成的数组的序列增减情况。

算法原理：

下面用一个例子说明一下

刚开始要符合一个增的形式，此时有很多选项可以放这里，那放5好不好？肯定是不好的，5是当前最大的数，接下来是一个增长趋势这里放5，下一个放谁都增不了，这里就有一个贪心的策略，我不会把最大的数放这里，因此我就贪到底，把最小的数放这里。

接下来是降，如果是降，会把1放这里吗？绝对不会，如果把最小的数放在这里接下来还降个锤子，此时还是贪到底，把最大的数放这里。

同理后面都是这样选择的。

最后在把最后一个数放在后面

我们的贪心策略：

当遇到 " I "，选择当前最小的那个数
当遇到 " D "，选择当前最大的那个数

这里简单证明一下我们这个策略是正确的。

当在增长的时候，如果我们选择较小的数摆，那无论接下来下一个数选谁绝对都是符合情况的。后面的数都是比我大。所以是绝对正确的。

同理如果第一个是降的话，拿最大的数摆，那括号里待选的数都是比我选的，无论较小的数如何排列，接下来下一个数绝对呈现下降趋势。

处理完之后，接下来对括号里面处理是一样的，这其实就是一个递归的过程，当算法一直递归下去的时候，每一个摆放都是合理的，所以我们和用归纳法来证明我们这个贪心策略是正确的。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> diStringMatch(string s) {

        int left = 0, right = s.size();// 用 left，right 标记最小值最大值
        vector<int> ret;
        for(auto ch : s)
        {
            if(ch == 'I') ret.push_back(left++);
            else ret.push_back(right--);
        }
        ret.push_back(left); // 把最后一个数放进去
        return ret;
    }
};

3.分发饼干

题目链接： 455. 分发饼干

题目分析：

有一群孩子，还有一堆饼干，拿着这些饼干去喂这些孩子，问最多能喂饱多少孩子？喂饱孩子的要求是饼干尺寸要大于等于孩子的胃口。

算法原理：

看下面这个示例，我们来想贪心策略。首先我们要将胃口和饼干升序排列，如果数组乱序我们找的时候还需要去遍历数组很麻烦。所以我们先要把数组排序。

如果搞清题意的话，不知道会不会想到《优势洗牌 - 田忌赛马》这道题，田忌赛马这道题也是给数组之后我们给数组排下序，然后尽可能多的去赢。这道题是数组排序后，然后挑一些去满足上面的数，其实也是打败它。所以田忌赛马这道题的经验是有可能应用到我们这道题的。

这里我们就针对某个孩子然后去挑选饼干。

此时挑的时候发现，当前最小的饼干就能满足孩子，此时贪心就来了，如果最小的饼干就能这个孩子，后面的饼干肯定更能满足，此时我们的贪心就是选择较小的饼干去满足，尺寸较大的饼干可以去满足胃口更大的孩子。

如果此时最小的饼干满足不了孩子胃口，在田忌赛马哪里我们是让它直接去拖累掉最后一个元素，但是我们这里是喂孩子，不能拿最小的饼干去喂孩子，所以当我们发现当前数组中最小的饼干都不能满足孩子胃口的时候，那上面所有孩子胃口都不能满足，因为我们是升序排序的，所以当前这个饼干删掉，然后针对这个孩子，再去选前提饼干。

后序操作如上，直到所有饼干用完，那 i 前面这堆孩子是全部都能满足的，返回它的数量就可以了。

总结一下贪心策略：

排序，针对当前胃口最小的孩子，然后挑选饼干

能满足，直接喂
不能满足，直接删掉这个饼干

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findContentChildren(vector<int>& g, vector<int>& s) {

        // 先排序
        sort(g.begin(), g.end());
        sort(s.begin(), s.end());
        // 利⽤双指针找答案
        int ret = 0, m = g.size(), n = s.size();
        for(int i = 0, j = 0; i < m && j < n; ++i, ++j)
        {
            while(j < n && s[j] < g[i]) ++j;// 找饼⼲
            if(j < n) ret++;
        }
        return ret;
    }
};

证明：

证明方法：交换论证法

最优解在不失去最优性的前提下能调整成贪心解，就说明贪心解是正确的。

从左往右扫描贪心解和最优解饼干匹配情况，当第一次遇到匹配不相等，此时根据贪心解的策略，分两种情况讨论：

喂不饱

贪心策略是删去这个饼干，最优解如果和贪心解不一样的话，最优解会让这个饼干去喂某个孩子。但是这种情况是不可能发生的，因为我们是升序的，如果当前饼干连最小的孩子都不能满足，那后面的孩子也满足不了，所以这个贪心和最优是一样的，都是直接删掉。

能喂饱

能喂饱我们的贪心是直接喂，最优解其实是有两种情况，要么这个饼干喂后面的孩子，要么这个饼干压根就没用。这个孩子也有情况情况，要么后面有饼干来喂这个孩子，要么没有饼干来喂这个孩子。两两结合我们要分四种情况讨论。

一：饼干用了，这个孩子也被后面饼干满足了。

二：饼干用了，孩子没被满足

三：饼干没用，孩子被满足

四：饼干没用，孩子没被满足

考虑第一种情况：

此时调整就是，就是绿色情况，只要证明绿色和紫色同样优秀就可以了

紫色的线有两个不等式，b > x1， a > x2，又因为升序 b > a，所以 b > a > x2，

所以b一定能喂x2，a调整喂x1贪心告诉我们是可以的。调整前喂得饱，调整后也喂得饱，所以第一种情况是可以的。

考虑第二种情况：

饼干喂了后面孩子x2，但是x1这个孩子没人喂。

此时调整a去喂x1也不会破坏最优，把a喂x2可以填饱肚子，那此时不喂x2，去喂x1也是可以填饱肚子，并且孩子个数没有发生改变，所以第二种情况是可以的。

考虑第三种情况：

没有用a这个饼干，x1这个孩子被后面b喂。

此时调整，不用b喂了，用a喂，也是可以的，在贪心解里知道a 是可以满足x1的，所以也是可以的。

考虑第四种情况：

没有a饼干，也没有x1这个孩子

此时调整a去喂x1，相当于在之前最优解的情况下又多了一个能喂饱的孩子，所以贪心更优最优解，所以绝对是可以的。

综上所述，无论是上述情况哪一种我们都可以调整的，所以能喂饱也是可以的。

此时我们的贪心就是正确的。

4.最优除法

题目链接： 553. 最优除法

题目分析：

给定一正整数数组 nums，nums 中的相邻整数将进行浮点除法。

例如，nums = [2,3,4]，我们将求表达式的值 "2/3/4"。

但是，你可以在任意位置添加任意数目的括号，来改变算数的优先级。

你需要找出怎么添加括号，以便计算后的表达式的值为最大值。

题意其实就是数组给一堆数，数中间其实都有除法的，此时让我们任意位置添加一些括号，使表达式的值为最大值，最后返回的是以字符串格式返回具有最大值的对应表达式。

注意：你的表达式不应该包含多余的括号。

原本括号里面顺序是3/4/5，现在多添加一个括号还是3/4/5。

算法原理：

举一个例子来提取我们的贪心策略

这个时候我们要明白一点，在这个表达式中添加括号最终都会转换为 x/y 的形式。也就是从这些数中挑一些放在分子上，一些数放在分母上，

我们最终要的是 x/y 是最大的，一个分数要最大，要么就是分子变大，要么就是分子变小。接下来我们设计表达式就是尽可能让分子大，分母小。这就是我们的贪心方向。

还有一点无论在表达式哪里填上括号，a都是在分子上，b都是在分母上，所以a和b这两个无法通过添加括号去改变的a/b。所以最终a一定在分子上，b一定在分母上。

现在可供我们选择的就是c、d、e、f，为了使最终结果最大，我们就想无脑的把c、d、e、f和a一起放在分子上。

这里可以用贪心优化就是因为这个值乘起来是越来越大的

贪心策略：除了前两个数以外，其余的数全部放在分子即可

如何实现贪心策略呢？

这里我们用小学就学过的知识，负负得正。除除得正。因此我们仅需在b之前填一个(，f后填一个）

括号里面得除法全都因为括号外面得除法变成除除得正，

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    string optimalDivision(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        // 先处理两个边界情况
        if(n == 1) return to_string(nums[0]);
        if(n == 2) return to_string(nums[0]) + '/' + to_string(nums[1]);

        string ret = to_string(nums[0]) + "/(" + to_string(nums[1]);
        for(int i = 2; i < n; ++i)
        {
            ret += '/' + to_string(nums[i]);
        }
        ret += ')';
        return ret;
    }
};