【数据结构专栏】二叉搜索树(Binary Search Tree)的剖析？

明月*清风2024-11-24 20:32

文章目录

🧨前言

该章节主要就是明确二叉树是什么？二叉树的基本操作等。

1、二叉搜索树的基本概念？

二叉所搜索树：它是一棵有一定规则的二叉树。它的每个节点的都遵循这两个条件：
①左子树不为空的时候，左子树的所有节点的值都小于当前节点的值。
②右子树不为空的时候，右子树的所有节点的值都大于当前节点的值。
③左右子树也必须是二叉搜索树。

二叉搜索树的性质决定了节点之间的连接方式，也就是说它可能会连接长满二叉树，亦可能为完全二叉树，但是在插入的而数据是有序的时候，那连接形式就会成一棵链表，会导致该树的高度非常高，影响操作效率。但是有一种平衡二叉搜索树，比如AVL树或红黑树，可以解决这个问题，但这里先不考虑平衡，先假设是一棵普通的二叉搜索树进行讲述。

2、二叉搜索树的节点结构组成？

⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等

值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值。
此文章的前提是使用一个普通二叉搜索树来分析，同时不包含重复值的节点

该树的节点组成有：
_key：用于存储数据值的变量。
_left：指向左子树的变量
_right：指向右子树的变量
代码结构如下：

cpp 复制代码 
template<class K>
class BSTNode
{
public:
	//构造函数，初始化列表给变量赋值
	BSTNode(const K& key)
		:_key(key)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{}
public:
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;
};
3、二叉搜索树的插入操作？

插入‌：如果树为空，新节点成为根节点；否则，按照二叉搜索树的性质找到插入位置并插入新节点‌。
从根节点开始，比较目标值与当前节点的值：
若目标值较小，则移动到左子树；
若目标值较大，则移动到右子树。
重复上述过程，直到找到一个空位置插入新节点。

代码加注释讲解：

cpp 复制代码 
//插入数据函数。
bool Insert(const K& key)
{
	//首先，为空的时候，直接插入到根节点。
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}

	//根节点不为空的时候，那就先从根节点开始。
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	//直到为空就插入
	while (cur)
	{
		//若插入的数据值 小于 当前节点的数据值，往左走。
		if (key < cur->_key)
		{
			//临时记录当前节点的父节点，不然后面链接不上新节点。
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		//插入的数据值 大于 当前节点的数据值，往右走。
		else if (key > cur->_key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			//走到此处说明找到一个空位置，跳出循环进行链接。
			return false;
		}
	}
	//找到cur==nullptr，此时parent节点就是最后一个节点，在插入key时候，
	//还需要判断一次，看插入的值比父节点值大，那么就当作右孩子，反之就当作左孩子。
	//由于此时cur是为空的，没必要另开空间来存储新节点，因此就把key放入该节点中
	cur = new Node(key);
	if (key < parent->_key)
	{
		//插入到左边
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		//插入到右边
		parent->_right = cur;
	}
	return true;
}
4、二叉搜索树的删除操作？

在实现二叉搜索树删除的接口的时候先是来说一下查找函数。
二叉搜索树的查找：思路和插入的一样，只是需要比较一下大小。

①通过需要查找的值key和二叉搜索树里面的每个节点的值cur->_key进行比较。查找值key 大于 当前节点值cur->_key，则就往当前节点cur的右子树走。
②查找值key 小于 当前节点值cur->_key，则就往当前节点cur的左子树走。
③找到后就返回当前节点cur。
代码如下：

cpp 复制代码 
	//查找函数
	bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				//往左走
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return cur;//在判断是否存在某个值的时候，直接返回true即可。
			}
		}
		return false;//说明没找到。
	}

删除操作：

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空。即叶子节点，可以直接删除。
  2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空。
  3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空。
  4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空。

对应序号的解决策略：

  1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）。
  2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点。
  3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点。
  4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。

第4种情况替换如下：

①先找到右子树的最小值节点（或左子树的最大值节点）。

②再用该最小值（或最大值）替换被删除节点的值。

③最后记得删除找到的最小值（或最大值）节点。

cpp 复制代码 
	//删除函数
	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		//先查找到对应删除的节点
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)//若当前节点的数据小于要比较的数据元素，则向右走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				//找到节点直接后就可以删除该节点
				//主要分为四种情况
				//1、左右都为空；2、左位空，右不为空；3、右位空，左不为空；4、左右都不为空
				// 左右为空的都可以划分到其中一个为空的情况，因为当左右都为空的时候，
				//下面检测到左节点为空，则就会进入左为空的程序
				
				//左为空
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					//先判断是否为根节点
					if (cur == _root)
					{
						//直接把节点给到根节点
						_root = cur->_right;
					}
					else if (cur == parent->_left)//若是父节点的左孩子为空，则
					//把cur->_right给到父节点的左孩子
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else//反之就是把父节点的右孩子
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
					delete cur;
				}

				//右为空
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
					delete cur;
				}

				//左右都不为空
				else
				{
					//替代法
					Node* replaceParent = cur;
					//在删除左右都不为空的时候，需要找一个节点的值来替代，可以
					//是当前节点的右子树的最左节点，也可以是当前节点左子树的最右节点，
					//下面是用的右子树的最左节点。
					Node* replace = cur->_right;
					while (replace->_left)
					{
						replaceParent = replace;
						replace = replace->_left;
					}
					//此处replace就是右子树的最左孩子节点
					//把值给到要删除的节点，即替换
					cur->_key = replace->_key;
					//此时需要判断replace节点是replaceParent节点的左孩子还是右孩子
					if (replace == replaceParent->_left)
					{
						replaceParent->_left = replace->_right;
					}
					else
					{
						replaceParent->_right = replace->_right;
					}
					delete replace;//相当于替换后，就删除替换的那个节点
				}
				return true;
			}
		}
		//没找到就返回false
		return false;
	}
5、二叉搜索树的遍历？

中序遍历：对于二叉搜索树，中序遍历会按升序输出所有节点的值。
前序遍历、后序遍历：按照特定顺序访问节点，但不保证有序性。

下面把三种遍历方式都写出来：

cpp 复制代码 
//中序遍历搜索二叉树
void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}

	//左 根 右
	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_key<<" ";
	_InOrder(root->_right);
}

void _PrevOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	 cout << root->_key << " ";
	_InOrder(root->_left);
	_InOrder(root->_right);
}

void _PostOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_InOrder(root->_left);
	_InOrder(root->_right);	
	cout << root->_key << " ";
}

运行结果如下：

6、二叉搜索树的性能分析？

最好和平均情况：树的高度为O(log n)，插入、删除和查找操作的时间复杂度为O(log n)。
最坏情况：树的高度为O(n)，时间复杂度退化为O(n)，通常发生在插入有序数据时，树退化为链表。

为避免性能下降，通常使用平衡二叉搜索树，如AVL树或红黑树，以保证树的高度始终接近O(log n)。后续文章会讲述。

总结：二叉搜索树是一种高效的数据结构，适用于需要频繁进行插入、删除和查找操作的场景。理解其基本操作和实现细节是掌握更复杂数据结构和算法的基础。在实际应用中，通常需要结合平衡技术来保证性能的稳定性。

🎉完整代码如下：
cpp 复制代码 
#pragma once

#include<iostream>
using namespace std;

namespace N
{
	//先创建二叉树结构
	template<class K>
	class BSTNode
	{
	public:
		//构造函数
		BSTNode(const K& key)
			:_key(key)
			,_left(nullptr)
			,_right(nullptr)
		{}
	public:
		K _key;
		BSTNode<K>* _left;
		BSTNode<K>* _right;
	};

	template<class K>
	class BSTree
	{
		typedef BSTNode<K> Node;
	public:
		//插入数据函数
		bool Insert(const K& key)
		{
			//首先，为空的时候，直接插入到根节点
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}

			//根节点不为空的时候，那就先从根节点开始
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			//直到为空就插入
			while (cur)
			{
				//若插入的数据小于节点的数据值，往左走
				if (key < cur->_key)
				{
					//记录下一节点的父节点
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				//大于节点的值
				else if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					//往右边走
					cur = cur->_right;
				}
				//相等就返回
				else
				{
					return false;
				}
			}
			//找到cur==nullptr，此时parent节点就是最后一个节点，在插入key时候，
			//还需要判断一次，比父节点值大，就插入到右孩子处，反之就左孩子
			//由于cur是为空的，因此把key放入该节点中
			cur = new Node(key);
			if (key < parent->_key)
			{
				//插入到左边
				parent->_left = cur;
			}
			else
			{
				//插入到右边
				parent->_right = cur;
			}
			return true;
		}

		//查找函数
		bool Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					//往左走
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return true;
				}
			}
			return false;
		}

		//删除函数
		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			//先查找到对应删除的节点
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < key)//若当前节点的数据小于要比较的数据元素，则向右走
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					//找到节点直接后就可以删除该节点
					//主要分为四种情况
					
					//1、左右都为空；2、左位空，右不为空；3、右位空，左不为空；4、左右都不为空
					// 左右为空的都可以划分到其中一个为空的情况，因为当左右都为空的时候，
					//下面检测到左节点为空，则就会进入左为空的程序
					
					//左为空
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						//先判断是否为根节点
						if (cur == _root)
						{
							//直接把节点给到根节点
							_root = cur->_right;
						}
						else if (cur == parent->_left)//若是父节点的左孩子为空，
						//则把cur->_right给到父节点的左孩子
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else//反之就是把父节点的右孩子
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
						delete cur;
					}

					//右为空
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else if (cur == parent->_left)
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
						delete cur;
					}

					//左右都不为空
					else
					{
						//替代法
						Node* replaceParent = cur;
						//在删除左右都不为空的时候，需要找一个节点的值来替代，
						//可以是当前节点的右子树的最左节点
						Node* replace = cur->_right;
						while (replace->_left)
						{
							replaceParent = replace;
							replace = replace->_left;
						}
						//此处replace就是右子树的最左孩子节点
						//把值给到要删除的节点，即替换
						cur->_key = replace->_key;
						//此时需要判断replace节点是replaceParent节点的左孩子还是右孩子
						if (replace == replaceParent->_left)
						{
							replaceParent->_left = replace->_right;
						}
						else
						{
							replaceParent->_right = replace->_right;
						}
						delete replace;//相当于替换后，就删除替换的那个节点
					}
					return true;
				}
			}
			//没找到就返回false
			return false;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
		}

		void PrevOrder()
		{
			_PrevOrder(_root);
		}

		void PostOrder()
		{
			_PostOrder(_root);
		}
	private:
		//中序遍历搜索二叉树
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			//左 根 右
			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key<<" ";
			_InOrder(root->_right);
		}

		void _PrevOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			 cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->_left);
			_InOrder(root->_right);
		}

		void _PostOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			_InOrder(root->_left);
			_InOrder(root->_right);	
			cout << root->_key << " ";
		}
	private:
		//BSTNode<K>* _root=nullptr;//定义根节点
		Node* _root = nullptr;
	};
}
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