普及组集训--图论最短路径

C++oj2024-12-02 23:50

定义：表示顶点u到顶点v的一条边的权值（边权）

最短路径算法有常见的四种：floyd，dijkstra，Bellman-Ford，SPFA

不过Bellman-Ford并不常用，所以本文不提；

重点在于dijkstra，spfa;

floyd(O(n^3))

思想是对所有边进行松弛操作。

code:

cpp 复制代码

for(int k=1;k<=n;k++){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);//松弛操作 
		}
	}
}

代码解读：

可以把k理解为的中转点，而后

故：描述不太严谨

形象一些：

上图即为所有最短路径算法的普遍思想。

dijkstra(O(n^2+m))

把节点分为两个集合，一是以确定的出现在最短路径上的点集合，记为S；二是没确定的节点记为集合T，一开始所有点都属于T集合。其实就是著名的蓝白点思想可以去百度搜一搜。

code:

cpp 复制代码

//无向图邻接矩阵存图；
for(int i=1;i<=n;i++){
	dis[i]=f[s][i];//dis[i]=E(s,i)
} 
for(int i=1;i<=n-1;i++){//枚举中转点 
	k=0;
	minl=0x3ffffff;//初始为无穷 
	for(int j=1;j<=n;j++){
		if(!vis[j]&&dis[j]<minl){
			minl=dis[j];
			k=j;
		}
	}
	if(k==0)break;//没找到中转点直接退出 
	vis[k]=1;//标为白点 
	for(int j=1;j<=n;j++){
		dis[j]=min(dis[j],dis[k]+f[k][j]);//松弛操作 
	}
}
return dis[e];//min(E(s,e))

SPFA(O(KE) or O(nm))

关于复杂度：其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2;

SPFA就是Bellman-Ford的一种实现方式，使用了队列优化让复杂度变低

spfa也会用到松弛操作。

前置芝士：链式前向星

cpp 复制代码

//用链式前向星来存图
void add(int a,int b,int c){//从a到b的一条边权为c的边 
	to[++cnt]=b;
	val[cnt]=c;
	nxt[cnt]=h[a];
	h[a]=cnt;
}

code:

cpp 复制代码

queue<int>q;//队列
void spfa(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dis[i]=0x3fffff;//初始为无穷 
	}
	dis[s]=0;
	vis[s]=1;
	q.push(s);//入队(把源点加入队列) 
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop;//弹出队列 
		vis[u]=0;//没被加入队列过 
		for(int i=h[u];~i;i=nxt[i]){//找h[u]的所有连边进行松弛操作 
			if(dis[u]+val[i]<dis[to[i]]){
				dis[to[i]]=dis[u]+val[i];//对该边进行松弛操作 
				if(!vis[to[i]]){//若没有加入队列 
					q.push(to[i]);//加入队列 
					vis[to[i]]=1;//标记为已经加入队列（白点） 
				}
			}
		}
	}
}

在随机数据下spfa直接封神。

但如果不是随机数据，且有一堆特殊情况而且数据毒瘤，要设置分层图时，不要用spfa