图论 ------ 最短路 ------ Bellman-Ford 算法与 SPFA_通信网理论基础 分别使用bellman-ford算法和dijkstra算法的应用-CSDN博客
图解Bellman-Ford计算过程以及正确性证明 - 知乎 (zhihu.com)
1 概念
**适用场景：**单源点，可以有负边，不能有负权环。
**dis(v)：**源点s到v的距离。初始话dis(s)=0,其余为无穷大。
**n：**顶点数
**m：**边数
复杂度O(mn)：对边进行n-1次遍历。如果dis(v)>dis(u)+e(u,v)，则更新dis(v)=dis(u)+e(u,v)
**合理性：**基于这个方式，每次遍历起码有一个点的dis(v)是得到最优值。所以遍历n-1次就够了。
负权环：环的权值和为负。如果按上述的方式遍历，很有可能会导致某个点的dis值经过环之后变得更小。重复遍历后越来越小。
**判断负权环：**三角不等式。无负权环时，n-1次后所有dis都是最优。如果有，则会导致得不到最小dis。基于这一点，可以在n-1次后，再遍历一次，如果还存在dis(v)>dis(u)+e(u,v)，则有负权环。
2 实现
2.1 n-1次遍历
cpp
void Bellman_Ford()
{
for(int i=0;i<n;i++)
dis[i]=INF;
dis[0]=0;
for(int i=1;i<=n-1;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)//枚举所有边
{
int x=u[j];//边j的起点
int y=v[j];//边j的终点
if(dis[x]<INF)//松弛
dis[y]=min(dis[y],dis[x]+w[j]);
}
}2.2 第n次变量------三角布不等式判断环
cpp
void Bellman_Ford()
{
for(int i=0;i<n;i++)
dis[i]=INF;
dis[0]=0;
for(int i=1;i<=n-1;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)//枚举所有边
{
int x=u[j];//边j的起点
int y=v[j];//边j的终点
if(dis[x]<INF)//松弛
dis[y]=min(dis[y],dis[x]+w[j]);
}
for(int j=1;j<=m;j++)//枚举所有边
{
int x=u[j];//边j的起点
int y=v[j];//边j的终点
if(dis[y]>dis[x]+w[j])//
cout<<"有负权环";
return;
}
}3 SPFA-基于队列的优化
**SPFA：**Shortest Path Faster Algorithm。用队列来记录待遍历的点，每次不遍历所有边，只遍历和改点相邻的边。
3.1 实现
可以用双向队列，把dis小的点放在队首，提高遍历时更新的效率（更快完成所有dis更新）
cpp
struct Edge{
int to,dis;
};
vector<Edge> edge[N];
bool vis[N];
int dis[N];
void SPFA(int s) {
memset(dis, INF, sizeof(dis));
memset(vis, false, sizeof(vis));
vis[s] = true;
dis[s] = 0;
deque<int> Q;
Q.push_back(s);
while (!Q.empty()) {
int x = Q.front();
Q.pop_front();
vis[x] = 0;
for (int i = 0; i < edge[x].size(); i++) {
int y = edge[x][i].to;
if (dis[y] > dis[x] + edge[x][i].to) {
dis[y] = dis[x] + edge[x][i].to;
if (!vis[y]) {
vis[y] = true;
if (!Q.empty() && dis[y] < dis[Q.front()])//加入队首
Q.push_front(y);
else//加入队尾
Q.push_back(y);
}
}
}
}
}3.2 判断负环-判断每个点进队列的次数（大于n）
cpp
struct Edge {
int from, to;
int dis;
Edge() {}
Edge(int from, int to, int dis) : from(from), to(to), dis(dis) {}
};
struct SPFA {
int n, m;
Edge edges[N]; //所有的边信息
int head[N]; //每个节点邻接表的头
int next[N]; //每个点的下一条边
int pre[N]; //最短路中的上一条弧
bool vis[N];
int dis[N];
int cnt[N]; //进队次数
void init(int n) {
this->n = n;
this->m = 0;
memset(head, -1, sizeof(head));
}
void AddEdge(int from, int to, int dist) {
edges[m] = Edge(from, to, dist);
next[m] = head[from];
head[from] = m++;
}
bool negativeCycle(int s) { //判负环
memset(vis, false, sizeof(vis));
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
memset(dis, INF, sizeof(dis));
dis[s] = 0;
queue<int> Q;
Q.push(s);
while (!Q.empty()) {
int x = Q.front();
Q.pop();
vis[x] = false;
for (int i = head[x]; i != -1; i = next[i]) {
Edge &e = edges[i];
if (dis[e.to] > dis[x] + e.dis) {
dis[e.to] = dis[x] + e.dis;
pre[e.to] = i;
if (!vis[e.to]) {
vis[e.to] = true;
Q.push(e.to);
if (++cnt[e.to] > n)
return true;
}
}
}
}
return false;
}
} spfa;
int main() {
int n, m;
while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
spfa.init(n);
int S;
scanf("%d", &S);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int x, y, dis;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &dis);
//无向边添边两次
spfa.AddEdge(x, y, dis);
spfa.AddEdge(y, x, dis);
}
spfa.negativeCycle(S);
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d\n", spfa.dis[i]);
}
return 0;
}