最近邻搜索 - 经典树型结构 M-Tree

前言

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最近邻搜索的目标是从 N N N 个对象中，快速找到距离查询点最近的对象。根据需求的不同，该任务又分为「精准查找」与「近似查找」，并且查找的目标也分为「找到前 K K K 个最近的对象」与「找到距查询点距离小于 r r r 的对象」。处理此类任务的关键在于组织已有对象的数据结构，大致分为以下三类：

树型结构：例如 Vantage-Point Tree (VP-Tree) [1]、M-Tree [2]、Cover Tree [3]、Faster Cover Trees [4] 等；
图型结构：例如 Hierarchical Navigable Small World (HNSW) [5]、Locallyadaptive Vector Quantization (LVQ) [6] 等；
哈希方法：例如 Locality Sensitive Hashing (LSH) 中的 SimHash、MinHash 等。

在当前时代下，如果你的对象就是向量，使用的距离度量也是常见度量（e.g., 欧式距离、余弦相似度等），可以直接调用一些成熟的向量数据库或最近邻检索算法库解决问题。

本文主要对一个经典的树型结构 M-Tree 进行介绍（已提出 20 多年，在数据库领域有大量应用），其特点是：

支持任意满足对称性 (Symmetry)、非负性 (Non-negativity)、三角不等式 (Triangle Inequality) 的距离度量；
支持整体数据结构的动态维护，即根据新对象的插入对整体结构做局部调整。

M-Tree 结构

M-Tree 中分为内部节点和叶节点，其中每个内部节点包含一个路由对象 (Routing Objects) O r O_r Or，并且动态维护该路由节点所覆盖的半径 r ( O r ) r(O_r) r(Or)，即 O r O_r Or 对应子树中的所有点，距 O r O_r Or 的距离小于等于 r ( O r ) r(O_r) r(Or)。维护每个内部节点的覆盖半径，可用于后续近邻查搜过程中的快速剪枝，避免遍历整棵树。

每个内部节点还需维护其与父节点 P ( O r ) P(O_r) P(Or) 之间的距离（同样用于后续查搜时的快速剪枝），具体维护的信息如下所示：

与内部节点不同的是，每个叶节点无需维护其覆盖半径，并且该节点直接指向具体的数据点，具体维护的信息如下所示：

需要注意的是，所有的数据点都会出现在叶节点中，内部节点中的路由对象为一些 "关键" 数据点的拷贝。

M-Tree 查搜

近邻查搜通常分为两种，一种是 Range Queries，即对于待查询数据 Q Q Q，查找所有满足 d ( O j , Q ) ≤ r ( Q ) d(O_j,Q)\leq r(Q) d(Oj,Q)≤r(Q) 的数据 O j O_j Oj；另一种是 Nearest Neighbor Queries，即查找距查询数据 Q Q Q 最近的前 k k k 个数据点。

首先介绍 Range Queries，其查搜时有两种剪枝方式。假设当前查询节点为 O r O_r Or，其与查询点 Q Q Q 之间的距离为 d ( O r , Q ) d(O_r,Q) d(Or,Q)，则 O r O_r Or 子树内任意点 O ′ O' O′ 满足（距离三角不等式）：
d ( O ′ , Q ) ≥ d ( O r , Q ) − d ( O ′ , O r ) ≥ d ( O r , Q ) − r ( O r ) . d(O',Q)\geq d(O_r,Q)-d(O',O_r)\geq d(O_r,Q)-r(O_r). d(O′,Q)≥d(Or,Q)−d(O′,Or)≥d(Or,Q)−r(Or).

因此如果 O r O_r Or 满足 d ( O r , Q ) > r ( Q ) + r ( O r ) d(O_r,Q)>r(Q)+r(O_r) d(Or,Q)>r(Q)+r(Or)，即 d ( O ′ , Q ) > r ( Q ) d(O',Q)>r(Q) d(O′,Q)>r(Q)，则无需再遍历 O r O_r Or 子树内的节点，此为第一种剪枝方式。

此外，假设 O r O_r Or 的父节点为 O p O_p Op，其距 Q Q Q 的距离为 d ( O p , Q ) d(O_p,Q) d(Op,Q)，则 O r O_r Or 子树内任意点 O ′ O' O′ 满足（距离三角不等式）：
d ( O ′ , Q ) ≥ d ( O r , Q ) − r ( O r ) ≥ ∣ d ( O r , Q p ) − d ( O p , Q ) ∣ − r ( O r ) . d(O',Q)\geq d(O_r,Q)-r(O_r)\geq |d(O_r,Q_p)-d(O_p,Q)|-r(O_r). d(O′,Q)≥d(Or,Q)−r(Or)≥∣d(Or,Qp)−d(Op,Q)∣−r(Or).

因此如果 O r O_r Or 满足 ∣ d ( O r , Q p ) − d ( O p , Q ) ∣ > r ( Q ) + r ( O r ) |d(O_r,Q_p)-d(O_p,Q)|>r(Q)+r(O_r) ∣d(Or,Qp)−d(Op,Q)∣>r(Q)+r(Or)，则可以直接将整颗 O r O_r Or 子树剪枝，并且无需计算 d ( O r , Q ) d(O_r,Q) d(Or,Q)，此为第二种剪枝。

以下为 M-Tree 执行 Range Queries 的具体算法：

接下来是 Nearest Neighbor Queries，其剪枝思路与 Range Queries 类似，只是将查询范围 r ( Q ) r(Q) r(Q) 换成了 d k d_k dk，即当前距 Q Q Q 第 k k k 小的距离。另外 d m i n ( T ( O r ) ) = max ⁡ { d ( O r , Q ) − r ( O r ) , 0 } , d m a x ( T ( O r ) ) = d ( O r , Q ) + r ( O r ) d_{min}(T(O_r))=\max\{d(O_r,Q)-r(O_r),0\},d_{max}(T(O_r))=d(O_r,Q)+r(O_r) dmin(T(Or))=max{d(Or,Q)−r(Or),0},dmax(T(Or))=d(Or,Q)+r(Or) 分别代表 O r O_r Or 子树中距 Q Q Q 可能的最小和最大距离，执行 Nearest Neighbor Queries 的具体算法如下所示：

M-Tree 构建

M-Tree 的构建为依次插入新的数据点，其中每个叶节点可以存储多个数据点，如果叶节点满了，则会进行节点分裂，进而动态地维护整颗树结构。

M-Tree 数据插入

在每一层插入新数据点时，首先选择不会使内部节点覆盖半径变大的节点，如果不存在这样的节点，则选择使覆盖半径变大幅度最小的节点，具体算法如下所示：

M-Tree 节点分裂

如果最后插入的叶节点满了，则需要进行分裂。具体分裂过程为：

从当前节点 N 的所有数据点 + 新数据点 O n O_n On 中选出两个代表节点 O p 1 O_{p_1} Op1 和 O p 2 O_{p_2} Op2，对应 Promote 操作；
将这些数据点集合 N \mathcal{N} N 分为距 O p 1 O_{p_1} Op1 更近的 N 1 \mathcal{N}1 N1 和距 O p 2 O{p_2} Op2 更近的 N 2 \mathcal{N}_2 N2，对于 Partition 操作；
将 N 中的路由节点替换为 O p 1 O_{p_1} Op1，并判断 N 的上层节点是否满了，如果没满则插入 O p 2 O_{p_2} Op2，否则继续向上进行分裂。

整体算法如下所示：

节点分裂之后，仍需维护新增节点的覆盖半径，具体如下：
r ( O p 1 ) = max ⁡ { d ( O r , O p 1 ) + r ( O r ) ∣ O r ∈ N 1 } . r\left(O_{p_1}\right)=\max \left\{d\left(O_r, O_{p_1}\right)+r\left(O_r\right) \mid O_r \in \mathcal{N}_1\right\}. r(Op1)=max{d(Or,Op1)+r(Or)∣Or∈N1}.

节点分裂策略

两个代表点的选择有多种策略，具体可以查看原文，此处介绍几种代表性策略：

m_RAD: 计算 N \mathcal{N} N 中所有节点两两之间距离，选择最小化 r ( O p 1 ) + r ( O p 2 ) r(O_{p_1})+r(O_{p_2}) r(Op1)+r(Op2) 的代表点；
mM_RAD: 计算 N \mathcal{N} N 中所有节点两两之间距离，选择最小化 max ⁡ { r ( O p 1 ) , r ( O p 2 ) } \max\{r(O_{p_1}),r(O_{p_2})\} max{r(Op1),r(Op2)} 的代表点；
m_LB_DIST: 将 O p 1 O_{p_1} Op1 设置为原节点 O p O_p Op，选择距离 O p O_p Op 最远的点作为 O p 2 O_{p_2} Op2.