数据结构——跳表

目录

1.什么是跳表-skiplist

2.skiplist的效率如何保证？

3.skiplist的实现

4.skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比

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1.什么是跳表-skiplist

skiplist本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型。那么相比而言它的优势是什么的呢？这么等我们学习完它的细节实现，我们再来对比

skiplist是由William Pugh发明的，最早出现于他在1990年发表的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》

skiplist，顾名思义，首先它是一个list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是O(N)

William Pugh开始的优化思路：

1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所 示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由 于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概 只有原来的一半
2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一 个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了
3. skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方 式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似 二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时 候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格 的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也 包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)

4.skiplist的设计为了避免这种问题 ，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是 插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数， 这样就好处理多了。细节过程入下图：

2.skiplist的效率如何保证？

上面我们说到，skiplist插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时的效率呢？

这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限 制，其次会设置一个多增加一层的概率p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图：

在Redis的skiplist实现中，这两个参数的取值为：

p = 1/4
maxLevel = 32

根据前面randomLevel()的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析如下：

• 节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布
• 节点层数恰好等于1的概率为1-p
• 节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)
• 节点层数大于等于3的概率为p^2，而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)
• 节点层数大于等于4的概率为p^3，而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)
• 以此类推

因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下：

现在很容易计算出：

• 当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2
• 当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33

跳表的平均时间复杂度为O(logN)，这个推导的过程较为复杂，需要有一定的数学功底

3.skiplist的实现

我们通过一道题来实现跳表

https://leetcode.cn/problems/design-skiplist/description/

对于跳表的查找,我们首先将查找值与当前节点的值比较,如果比当前值大就想右走,如果小就向下走,同时也应该注意如果下一个节点为空的话也要向下走

bool search(int target) {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        while(level >= 0)
        {
            //下一个节点不为空且查找值比下一个节点的值大,向右走
            //下一个节点为空或者查找值比下一个节点的值小,向下走
            if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)
            {
                //向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target)
            {
                //向下走
                --level;
            }
            else
            {
                return true;
            }    
        }
        return false;
    }

跳表的层数我们通过公式来进行控制层数出现的概率

int RandomLevel(){
        size_t level = 1;
        while(rand() < RAND_MAX*_p && level < _maxLevel)
        {
            ++level;
        }

        return level;
    }

跳表的插入我们首先需要判断究竟插入在哪一层,而对于删除时也需要判断删除值的层数,所以直接写成一个函数方便调用,减少代码的冗余性

vector<Node*> FindPrevNode(int num)
    {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
        while(level >= 0)
        {
            if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)
            {
                //向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num)
            {
                //更新level层前一个节点,向下走
                prevV[level]=cur;
                --level;
            }
        }

        return prevV;
    }

void add(int num) {
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

        int n = RandomLevel();
        Node* newnode = new Node(num, n);
        //如果n大于当前层数,就升高
        if(n > _head->_nextV.size())
        {
            _head->_nextV.resize(n, nullptr);
            prevV.resize(n, _head);
        }

        //链接前后节点
        for(size_t i =0; i < n; ++i)
        {
            newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
            prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
        }
    }

跳表删除时只需要整体遍历即可,同时我们还可以对其进行一些小的优化,如果删除了最高层的节点的话,我们将层数下降,可以提高效率

bool erase(int num) {
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
        if(prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
        {
            return false;
        }
        else
        {
            Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
            for(size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i)
            {
                prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
            }
            delete del;

            //删除最高层节点,将头节点层数下降
            int i = _head->_nextV.size() - 1;
            while(i >= 0)
            {
                if(_head->_nextV[i] == nullptr)
                    --i;
                else
                    break;
            }
            _head->_nextV.resize(i + 1);
            return true;
        }
    }

我们可以写出输出函数来查看结果,写oj题时不需要,这里只是为了进一步理解跳表的结构

void Print()
    {
        int level = _head->_nextV.size();
        for(int i = level - 1; i >= 0; --i)
        {
            Node* cur = _head;
            while(cur)
            {
                printf("%d->", cur->_val);
                cur = cur->_nextV[i];
            }
            printf("\n");
        }
    }

struct SkiplistNode
{
    int _val;
    vector<SkiplistNode*> _nextV;

    SkiplistNode(int val,int level):_val(val), _nextV(level,nullptr)
    { }
};

class Skiplist {
    typedef SkiplistNode Node;
public:
    Skiplist() {
        //头节点,层数为1
        _head = new SkiplistNode(-1, 1);
    }
    
    bool search(int target) {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        while(level >= 0)
        {
            //下一个节点不为空且查找值比下一个节点的值大,向右走
            //下一个节点为空或者查找值比下一个节点的值小,向下走
            if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)
            {
                //向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target)
            {
                //向下走
                --level;
            }
            else
            {
                return true;
            }    
        }
        return false;
    }
    
    vector<Node*> FindPrevNode(int num)
    {
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1;
        vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
        while(level >= 0)
        {
            if(cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)
            {
                //向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num)
            {
                //更新level层前一个节点,向下走
                prevV[level]=cur;
                --level;
            }
        }

        return prevV;
    }

    void add(int num) {
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

        int n = RandomLevel();
        Node* newnode = new Node(num, n);
        //如果n大于当前层数,就升高
        if(n > _head->_nextV.size())
        {
            _head->_nextV.resize(n, nullptr);
            prevV.resize(n, _head);
        }

        //链接前后节点
        for(size_t i =0; i < n; ++i)
        {
            newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
            prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
        }
    }
    
    bool erase(int num) {
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
        if(prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
        {
            return false;
        }
        else
        {
            Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
            for(size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); ++i)
            {
                prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
            }
            delete del;

            //删除最高层节点,将头节点层数下降
            int i = _head->_nextV.size() - 1;
            while(i >= 0)
            {
                if(_head->_nextV[i] == nullptr)
                    --i;
                else
                    break;
            }
            _head->_nextV.resize(i + 1);
            return true;
        }
    }

    int RandomLevel(){
        size_t level = 1;
        while(rand() < RAND_MAX*_p && level < _maxLevel)
        {
            ++level;
        }

        return level;
    }

    void Print()
    {
        int level = _head->_nextV.size();
        for(int i = level - 1; i >= 0; --i)
        {
            Node* cur = _head;
            while(cur)
            {
                printf("%d->", cur->_val);
                cur = cur->_nextV[i];
            }
            printf("\n");
        }
    }
private:
    Node* _head;
    size_t _maxLevel=32;
    double _p=0.25;
};

4.skiplist跟平衡搜索树和哈希表的对比

1. skiplist相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差 不多。skiplist的优势是：a、skiplist实现简单，容易控制 。平衡树增删查改遍历都更复杂。 b、skiplist的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。 skiplist中p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；skiplist中p=1/4时，每个节点所包 含的平均指针数目为1.33
2. skiplist相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言a、哈希表平均时间复杂度是 O(1)，比skiplist快。b、哈希表空间消耗略多一点。skiplist优势如下：a、遍历数据有序 b、skiplist空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。c、哈希表扩容有性能损 耗。d、哈希表极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树来补足缺点