相机内外参知识

传说故事2024-12-22 10:27

已知相机的内外参数矩阵，可以求得相机在世界坐标系下的原点坐标。这里需要理解几个概念：

内参数矩阵（Intrinsic Matrix）: 描述相机本身的属性，比如焦距、主点位置等。
外参数矩阵（Extrinsic Matrix）: 描述相机相对于世界坐标系的位置和姿态。

外参数矩阵通常由旋转矩阵 R R R和平移向量 t t t组成，它们一起描述了从世界坐标系到相机坐标系的转换。如果要计算相机原点在世界坐标系中的位置，则需要考虑这个变换的逆变换，即从相机坐标系到世界坐标系的变换。

设 R R R为 3x3 的旋转矩阵， t t t为 3x1 的平移向量，那么外参数矩阵 $R ∣ t$ $R \| t$ $R∣t$ 描述了世界坐标系中的一点 X w X_w Xw如何通过旋转和平移到相机坐标系中对应的点 P c P_c Pc，可以用以下公式表示：

X c = R ⋅ X w + t X_c = R \cdot X_w + t Xc=R⋅Xw+t

对于相机坐标系的原点 O c O_c Oc，其在相机坐标系中的坐标是 ( 0 , 0 , 0 ) T (0, 0, 0)^T (0,0,0)T。为了找到这个点在世界坐标系中的坐标 O w O_w Ow，我们需要做逆变换。由于 O c O_c Oc在相机坐标系中是原点，所以我们可以简单地使用负的平移向量 − R T ⋅ t -R^T \cdot t −RT⋅t来得到它在世界坐标系中的坐标，因为旋转矩阵的转置等于它的逆（ R T = R − 1 R^T = R^{-1} RT=R−1，前提是 R R R是正交矩阵），所以我们有：

O w = − R T ⋅ t O_w = -R^T \cdot t Ow=−RT⋅t

这就是相机原点在世界坐标系下的坐标。如果你有具体的 R R R和 t t t值，可以直接代入上述公式进行计算。

如果文档或代码中没有明确指出，那么默认情况下外参数矩阵指的通常是 world2cam 变换。

齐次坐标系：
X c = $R ∣ T$ X w X_c = $R\|T$ X_w Xc= $R∣T$ Xw，这里的 $R ∣ T$ $R\|T$ $R∣T$ 表示的就是world2cam，也就是外参矩阵。此时相机原点在世界坐标系下坐标是 O w = − R T ⋅ T O_w = -R^T \cdot T Ow=−RT⋅T
X w = $R ∣ T$ X c X_w = $R\|T$ X_c Xw= $R∣T$ Xc，这里的 $R ∣ T$ $R\|T$ $R∣T$ 表示的是cam2world，此时相机原点在世界坐标系下坐标是 T $0$ , T $1$ , T $2$ T $0$ ,T $1$ ,T $2$ T $0$ ,T $1$ ,T $2$