洛谷 P1595 信封问题 C语言dp

题目描述

某人写了 n 封信和 n 个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

输入格式

一个信封数 n，保证 n≤20。

输出格式

一个整数，代表有多少种情况。

输入输出样例

输入 #1

2

输出 #1

1

输入 #2

3

输出 #2

2

说明/提示

对于 100% 的数据，1≤n≤20。

思路：

我们假设一个数组dp[27],我们需要推出有n个信封的时候排错的可能，举例，首先第i个信封放在了k位置上，分为两种情况。

• 情况一 ：原本应该放在位置 k 上的信封也恰好被放置在了位置 i 上。因此，这种情况下剩下的 n-2 个信封需要全部错排，即 dp[i-2] 种方式。
• 情况二 ：原本应该放在位置 k 上的信封不在位置 i 上。所以剩下的 i-1 个信封的错排数实际上是 dp[i-1]。
• 由于这两种情况是互斥的（即它们不能同时发生），所以我们将它们的结果相加，并乘以 (i-1)（因为我们有 i-1 种方式将第 i 个信封放置到其他位置上），从而得到递推关系：dp[i] = (i-1) * (dp[i-1] + dp[i-2])。

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[27]; 
int main()
{
	ll n;
	cin >> n;
	dp[0] = 1;
	dp[1] = 0;
	for(ll i = 2 ; i <= n ; i++)
	{
		dp[i] = (i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]);
	}
	cout << dp[n];
	return 0;
}