DAY36|动态规划Part04|LeetCode:1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474.一和零

[LeetCode:1049. 最后一块石头的重量 II](#LeetCode:1049. 最后一块石头的重量 II)

基本思路

C++代码

[LeetCode:494. 目标和](#LeetCode:494. 目标和)

LeetCode:1049. 最后一块石头的重量 II

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文字讲解：LeetCode:1049. 最后一块石头的重量 II

视频讲解：动态规划之背包问题，这个背包最多能装多少？

基本思路

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。其中石头的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]，对应着01背包里的物品重量weight[i]和物品价值value[i]。

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。而价值其实也就是背包中能够承载的石头的最大重量。

确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);而这里的weight[i]和value[i]实际上都是stone[i]，也就是石头的重量。因此，递推公式可以写成：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。根据提示易知，我们要求的target其实只是最大重量的一半，也就是15000 。接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了。

vector<int> dp(15001, 0);

确定遍历顺序

因为采用的是一维dp数组的方式，因此遍历物品的for循环放在外层而变量背包容量大小的for循环放在内层，并且要保证内层for循环采用倒序遍历。

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}

最后dp[target]就是容量为target的背包所能背的最大重量。在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

C++代码

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

LeetCode:494. 目标和

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文字讲解：LeetCode:494. 目标和

视频讲解：动态规划之背包问题，装满背包有多少种方法？

基本思路

最容易想到的就是回溯算法，但是使用回溯算法容易超时。

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要格外小心数值溢出的问题
        int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和

        // 以下为回溯法代码
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
        backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
        return result.size();
    }
};

我们如果使用动态规划的方法，可以假设正数的总和为x，负数的总和为y，所有元素的绝对值之和为sum，目标和为target。那么易得：

可以得到：

这里的x实际上就是背包容量BagSize。和之前的方法不同的地方在于，前面的题是求容量为j的背包最多能装下多少。而这个题目是求，装满容量为j的背包，一共有多少种方法。

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示装满容量为j的背包一共有dp[j]种方法。

确定递推公式

dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i]],可以理解为不包含物品i为上一次循环中的dp[j]和包含物品i的dp[j-nums[i]]。

dp数组如何初始化

这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。并且如果背包容量j和物品0的大小相同，此时dp[nums[i]] = 1。

确定遍历顺序

遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）。

C++代码

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

LeetCode:474.一和零

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文字讲解：LeetCode:474.一和零

视频讲解：动态规划之背包问题，装满这个背包最多用多少个物品？

基本思路

这个题目依旧是一个01背包问题。但是需要统计每个字符串元素的0和1的数量，也就是两个维度的背包。

确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

dp数组如何初始化

01背包的dp数组初始化为0就可以。因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

确定遍历顺序

在本题中物品就是strs里的字符串，背包容量是题目描述中的m和n分别代表了dp数组的两个维度。

for (string str : strs) { // 遍历物品
    int oneNum = 0, zeroNum = 0;
    for (char c : str) {
        if (c == '0') zeroNum++;
        else oneNum++;
    }
    for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
        for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
        }
    }
}

举例推导dp数组

以输入：["10","0001","111001","1","0"]，m = 3，n = 3为例

C++代码

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};