算法题题解记录——双变量问题的 “枚举右，维护左”

算法题的时间复杂度是必须考虑的因素，n的数量级和复杂度二者可以决定算法的执行时间。在有进行时间限制的题中，一个过于复杂的题解会因超时而得不到全分。

本文记录了对观光景点组合得分问题的思考、分析和优化。

题目

www.marscode.cn/practice/r3...

方法一：BF

思路

这道题的暴力解法是采用 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n 2 ) O(n^2) </math>O(n2) 的遍历，枚举所有的两两组合，取最大值。

代码

python 复制代码

def solution(values: list) -> int:
    # PLEASE DO NOT MODIFY THE FUNCTION SIGNATURE
    # write code here

    ans = 0
    l = len(values)
    for i in range(l):
        for j in range(i + 1, l):
            ans = max(ans, values[i] + values[j] + i - j)

    return ans


if __name__ == '__main__':
    print(solution(values=[8, 3, 5, 5, 6]) == 11)
    print(solution(values=[10, 4, 8, 7]) == 16)
    print(solution(values=[1, 2, 3, 4, 5]) == 8)

复杂度

时间复杂度 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n 2 ) O(n^2) </math>O(n2)
空间复杂度 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) O(1) </math>O(1)

思考优化点

这道题是leetcode第1014题，在力扣中明确提到了n最大可以取到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 5 ∗ 1 0 4 5 * 10^4 </math>5∗104。而 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n 2 ) O(n^2) </math>O(n2) 的算法会执行 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 25 ∗ 1 0 8 25*10^8 </math>25∗108，即 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 2.5 ∗ 1 0 9 2.5*10^9 </math>2.5∗109 次，而现代处理器大约能够每秒执行 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 0 8 10^8 </math>108 到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 0 9 10^9 </math>109 次基本操作。因此通常认为如果超过 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 0 9 10^9 </math>109 则超时。

既然超时，那就一定存在不必要的重复计算，暴力求解的方法哪里重复计算了呢？请看图：

我们对 values[i] + values[j] + i - j 重新组合为values[i] + i + values[j] - j，会发现：对于固定的j，i < j，只要 values[i] + i 越大，结果越大。而当 j 移动到 j+1 时，前 j - 1 个 value[i] + i 的最大值已经计算过了。

显然这里可以优化。

方法二：

思路

既然左侧的 values[i] + i 存在重复计算，那显然我们可以用变量将其保存起来。然后在单次循环中进行最大值的维护。

这个思路被叫做双变量问题 的 "枚举右，维护左"。详见文章末尾。

代码

python 复制代码

def solution(values: list) -> int:
    # PLEASE DO NOT MODIFY THE FUNCTION SIGNATURE
    # write code here
    ans = 0
    mx = values[0] + 0
    for j in range(1, len(values)):
        ans = max(ans, mx + values[j] - j)
        # 边遍历边维护
        mx = max(mx, values[j] + j)
    return ans


if __name__ == '__main__':
    print(solution(values=[8, 3, 5, 5, 6]) == 11)
    print(solution(values=[10, 4, 8, 7]) == 16)
    print(solution(values=[1, 2, 3, 4, 5]) == 8)

复杂度

时间复杂度 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n)
空间复杂度 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) O(1) </math>O(1)

总结

由数据范围反推算法复杂度以及算法内容

一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。在这种情况下，C++代码的操作次数控制在10⁷～10⁸为最佳。下面给出在不同数据范围内，代码的时间复杂度和算法该如何选择:

n ≤ 30，指数级别，dfs+剪枝，状态压缩dp
n ≤ 100，= O(n³)，floyd，dp，高斯消元
n ≤ 1000，= O(n²)，O(n²logn)，dp，二分，朴素版Dijkstra、朴素版Prim、Bellman-Ford
n ≤ 10000，= O(n * √n)，块状链表、分块、莫队
n ≤ 100000，= O(nlogn)，各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、拓扑排序、dijkstra+heap、prim+heap、Kruskal、spfa、求凸包、求半平面交、二分、CDQ分治、整体二分、后缀数组、树链剖分、动态树
n ≤ 1000000 => O(n)，以及常数较小的O(nlogn) 算法 => 单调队列、hash、双指针扫描、BFS、并查集、kmp、AC自动机，常数较小的O(nlogn)的做法: sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa
n ≤ 10000000，= O(n)，双指针扫描、kmp、AC自动机、线性素数筛
n ≤ 10⁹ => O(√n)，判断质数
n ≤ 10¹⁸ => O(logn)，最大公约数，快速幂，数位DP
n ≤ 10¹⁰⁰⁰ => O((logn)²)，高精度加减乘除
n ≤ 10¹⁰⁰⁰⁰⁰ => O(logk × loglogk)，k表示位数，高精度加减、FFT/NTT

枚举右，维护左

对于 双变量问题 ，例如两数之和 aᵢ + aⱼ = t，可以枚举右边的 aⱼ，转换成 单变量问题 ，也就是在 aⱼ 左边查找是否有 aᵢ = t - aⱼ，这可以用哈希表维护。这个技巧叫做 枚举右，维护左。

参考文章：

www.acwing.com/blog/conten...

leetcode.cn/circle/disc...