manim边学边做--同伦变换

Manim中,移动一个元素除了之前介绍的方法之外,还可以通过同伦运算来移动一个元素。

与普通的移动元素方式相比,使用同伦运算移动一个元素时,实际上是在考虑整个空间的连续变形过程中元素的相应变化。

这种移动不是孤立地看待元素的位置改变,而是将元素置于空间的整体结构中,通过连续变形的方式实现元素的 "移动"。

简单来说,元素的同伦移动是通过连续变形实现的,不存在突然的跳跃或中断。

在同伦运算中,元素的每一个中间状态都与前后状态连续过渡,保持了整个移动过程的连贯性。

Manim中关于同伦移动的动画类主要有:

  1. ComplexHomotopy:用于展示复函数之间的同伦变换
  2. Homotopy:更通用的同伦动画效果类,它可以用于展示任意两个对象之间的同伦变换,不仅仅局限于复函数
  3. SmoothedVectorizedHomotopy:对向量场进行平滑的同伦变换

1. 动画概述

1.1. ComplexHomotopy

ComplexHomotopy通常需要接收两个复函数作为参数,通过在复平面上对这两个函数进行采样,得到一系列的复数点。

然后,在动画过程中,按照一定的插值方法,逐步将第一个函数对应的点变换到第二个函数对应的点。

它的参数主要有:

参数名称 类型 说明
complex_homotopy func 定义了复平面上的同伦变换规则的函数
mobject Mobject 要应用同伦变换的数学对象

complex_homotopy参数是一个函数,它接受一个复数作为参数,并返回一个浮点数。

1.2. Homotopy

Homotopy需要定义起始对象和目标对象,以及一个描述同伦过程的函数。

在动画运行时,根据时间参数,通过同伦函数计算出每个时刻对象的中间状态,

这个中间状态的计算可能涉及到对象的几何属性(如点的坐标、图形的形状参数等)的插值和变换。

它的参数主要有:

参数名称 类型 说明
homotopy func 定义了对象在动画过程中的变形规则的函数
mobject Mobject 要应用同伦变换的数学对象
apply_function_kwargs dict 在应用同伦变换函数时提供额外的控制或配置信息

homotopy参数是一个参数,它接受四个数$ (x,y,z,t) \(作为参数,分别表示对象在三维空间中的坐标\) (x,y,z) \(以及动画时间参数\) t $(的取值范围从 0 到 1),

并返回一个包含三个数的元组$ (x',y',z') \(,表示在时间\) t $时,原始坐标对应的点经过同伦变换后的新坐标。

1.3. SmoothedVectorizedHomotopy

SmoothedVectorizedHomotopy首先需要获取起始向量场和目标向量场的信息,例如向量的大小和方向。

在动画过程中,通过一种平滑的插值算法来计算中间时刻向量场的向量值,这种算法可能会考虑向量场的梯度、散度等属性,以确保向量的变化是连续且符合物理规律的。

在每一帧动画中,根据计算得到的向量值绘制出相应的向量场,展示出向量场的平滑同伦变换。

它的参数主要有:

参数名称 类型 说明
homotopy func 定义了对象在动画过程中的变形规则的函数
mobject Mobject 要应用同伦变换的数学对象
apply_function_kwargs dict 在应用同伦变换函数时提供额外的控制或配置信息

SmoothedVectorizedHomotopy参数和Homotopy参数的含义是一样的。

SmoothedVectorizedHomotopy侧重于向量场的平滑同伦变换,虽然参数类似但主要针对向量场,确保其变换过程平滑,在涉及向量场的场景(如物理场模拟)中发挥独特作用。

2. 使用示例

这几个同伦变换的类使用起来没有那么直观,下面通过几个示例来演示如何使用这些类。

2.1. 复函数同伦变换展示

这个示例利用ComplexHomotopy展示了复函数$ f(z)=e^z \(到\) g(z)=sin(z) $的同伦变换过程。

通过在复平面上创建一系列的点来模拟这个变换的过程。

python 复制代码
# 创建复平面
plane = ComplexPlane(
    x_range=[-8, 8],
    y_range=[-8, 8],
    x_length=6,
    y_length=6,
)
self.add(plane)

# 定义两个复函数
def f(z):
    return np.exp(z)

def g(z):
    return np.sin(z)

# ComplexHomotopy动画
homotopy = lambda z, t: (1 - t) * f(z) + t * g(z)
# 要应用动画的点集
points = [
    complex(x, y) for x in np.arange(-3, 3, 0.5) for y in np.arange(-3, 3, 0.5)
]
mobject = VGroup(*[Dot(plane.n2p(p)) for p in points])
self.add(mobject)
self.play(
    ComplexHomotopy(homotopy, mobject),
    run_time=3,
)

2.2. 圆形的同伦收缩演示

借助Homotopy实现圆形在三维空间沿轴逐渐收缩为点的动画,

展示拓扑学中同伦变换下几何图形的连续变化,辅助理解拓扑性质。

python 复制代码
# 创建一个圆形
circle = Circle(radius=2)
self.add(circle)

# 定义同伦函数
def homotopy(x, y, z, t):
    return (x * (1 - t), y * (1 - t), z)

# 创建Homotopy动画
self.play(
    Homotopy(homotopy, circle),
    run_time=3,
)

2.3. 向量场强度均匀减弱模拟

通过SmoothedVectorizedHomotopy呈现二维向量场强度随时间均匀减弱,

在物理学电场或磁场教学中,能有效帮助学生理解向量场动态变化。

python 复制代码
# 创建一个向量场
vector_field = ArrowVectorField(
    lambda pos: (pos[0], pos[1], 0)
)
self.add(vector_field)

# 定义同伦函数
def homotopy(x, y, z, t):
    return ((1 - t) * x, (1 - t) * y, 0)

# SmoothedVectorizedHomotopy动画
self.play(
    SmoothedVectorizedHomotopy(homotopy, vector_field),
    run_time=3,
)

3. 附件

文中的代码只是关键部分的截取,完整的代码共享在网盘中(homotopy.py),

下载地址: 完整代码 (访问密码: 6872)

4. 补充说明:什么是同伦运算

同伦运算是代数拓扑学中的概念,本质上是在同伦范畴中对映射或空间的操作。

从直观上来说,如果两个连续映射 可以通过连续变形 从一个变成另一个,那么这两个映射是同伦的,而对这些同伦的映射进行的各种操作和研究就是同伦运算的范畴。

具体的数学定义这里不赘述,举几个实际生活中可以当做同伦变换的例子来帮助大家理解一下:

  1. 揉面团:把一块面团从初始的球形揉成各种形状,比如椭圆形、扁平状,甚至可以在面团上捏出一些起伏但不切断面团。这个过程中,面团的形状发生了连续变化,但它始终是一个整体,没有被撕裂或粘连,不同形状之间存在同伦关系。
  2. 吹气球:从气球未吹气时的扁平状态,到逐渐吹起变成球形的过程,气球的表面在连续地扩张变形。只要气球没有破裂,这个过程就是一个连续的变换。
  3. 绳结的变换:在不剪断绳子和不使绳子打结部分相互穿越的前提下,绳结可以从一种形状连续地变换为另一种形状。
  4. 衣服的变形:一件衣服在被人穿着的过程中,随着人的动作,衣服会发生各种变形。比如从平整的挂在衣架上的状态,到穿在人身上随着身体的弯曲、伸展而改变形状。
  5. 等等... ...

注意,上面的示例可以帮助理解同伦变换 ,但并不是完全严谨的同伦变换

比如,面团弄断了,衣服撕裂了等等情况就不是同伦变换,但却是实际生活中经常发生的事。

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