功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）的表达式是从信号的自相关函数和系统的频率响应推导出来的，特别是对于 AR（Auto-Regressive，自回归）模型。以下是推导的过程：
1. AR 模型的定义：
一个 p p p-阶 AR 模型定义为：
x ( n ) = ∑ k = 1 p a k x ( n − k ) + w ( n ) x(n) = \sum_{k=1}^p a_k x(n-k) + w(n) x(n)=k=1∑pakx(n−k)+w(n)
其中：
- a k a_k ak 是 AR 模型的系数；
- w ( n ) w(n) w(n) 是白噪声序列，满足 E [ w ( n ) ] = 0 E[w(n)] = 0 E[w(n)]=0， E [ w ( n ) w ( m ) ] = σ w 2 δ ( n − m ) E[w(n)w(m)] = \sigma_w^2 \delta(n-m) E[w(n)w(m)]=σw2δ(n−m)。
2. 信号的 Z 变换：
对模型两边应用 Z 变换（假设初始条件为 0）：
X ( z ) = ∑ k = 1 p a k z − k X ( z ) + W ( z ) X(z) = \sum_{k=1}^p a_k z^{-k} X(z) + W(z) X(z)=k=1∑pakz−kX(z)+W(z)
整理得到：
X ( z ) = W ( z ) 1 − ∑ k = 1 p a k z − k X(z) = \frac{W(z)}{1 - \sum_{k=1}^p a_k z^{-k}} X(z)=1−∑k=1pakz−kW(z)
这表示 x ( n ) x(n) x(n) 是由白噪声 w ( n ) w(n) w(n) 经过一个系统滤波得到的，系统的传递函数为：
H ( z ) = 1 1 − ∑ k = 1 p a k z − k H(z) = \frac{1}{1 - \sum_{k=1}^p a_k z^{-k}} H(z)=1−∑k=1pakz−k1
3. 功率谱密度的定义：
信号 x ( n ) x(n) x(n) 的功率谱密度定义为：
S x ( f ) = lim N → ∞ E [ ∣ X ( f ) ∣ 2 ] S_x(f) = \lim_{N \to \infty} E\left[ |X(f)|^2 \right] Sx(f)=N→∞limE[∣X(f)∣2]
通过 Wiener-Khinchin 定理，功率谱密度也是信号自相关函数 r ( k ) r(k) r(k) 的傅里叶变换：
S x ( f ) = F { r ( k ) } S_x(f) = \mathcal{F}\{r(k)\} Sx(f)=F{r(k)}
结合白噪声的性质和滤波器系统，功率谱密度可以写为：
S x ( f ) = σ w 2 ⋅ ∣ H ( f ) ∣ 2 S_x(f) = \sigma_w^2 \cdot |H(f)|^2 Sx(f)=σw2⋅∣H(f)∣2
4. 频率响应 H ( f ) H(f) H(f)：
将 H ( z ) H(z) H(z) 表达为频率的函数 f f f，使用 z = e j 2 π f z = e^{j2\pi f} z=ej2πf 代入：
H ( f ) = 1 1 − ∑ k = 1 p a k e − j 2 π f k H(f) = \frac{1}{1 - \sum_{k=1}^p a_k e^{-j2\pi f k}} H(f)=1−∑k=1pake−j2πfk1
因此， ∣ H ( f ) ∣ 2 |H(f)|^2 ∣H(f)∣2 为：
∣ H ( f ) ∣ 2 = 1 ∣ 1 − ∑ k = 1 p a k e − j 2 π f k ∣ 2 |H(f)|^2 = \frac{1}{\left|1 - \sum_{k=1}^p a_k e^{-j2\pi f k}\right|^2} ∣H(f)∣2=∣1−∑k=1pake−j2πfk∣21
5. AR 模型的功率谱：
最终功率谱密度为：
S x ( f ) = σ w 2 ∣ 1 − ∑ k = 1 p a k e − j 2 π f k ∣ 2 S_x(f) = \frac{\sigma_w^2}{\left|1 - \sum_{k=1}^p a_k e^{-j2\pi f k}\right|^2} Sx(f)=∣1−∑k=1pake−j2πfk∣2σw2
对于二阶 AR 模型（ p = 2 p = 2 p=2）：
S x ( f ) = σ w 2 ∣ 1 − a 1 e − j 2 π f − a 2 e − j 4 π f ∣ 2 S_x(f) = \frac{\sigma_w^2}{\left| 1 - a_1 e^{-j2\pi f} - a_2 e^{-j4\pi f} \right|^2} Sx(f)=∣1−a1e−j2πf−a2e−j4πf∣2σw2
6. 推导总结：
功率谱密度 S x ( f ) S_x(f) Sx(f) 的核心是利用 AR 模型的滤波器特性：
- x ( n ) x(n) x(n) 是白噪声 w ( n ) w(n) w(n) 通过一个滤波器得到的；
- 滤波器的频率响应 H ( f ) H(f) H(f) 由 AR 系数 a k a_k ak 确定；
- 白噪声的功率谱是常数 σ w 2 \sigma_w^2 σw2，经过滤波器后功率谱形状由 ∣ H ( f ) ∣ 2 |H(f)|^2 ∣H(f)∣2 决定。