准备考试：解决大学入学考试问题

引言

在编程竞赛和算法挑战中，我们经常会遇到各种类型的组合问题。这些问题不仅考验我们的逻辑思维能力，还要求我们熟练掌握数据结构和算法。在这篇文章中，我们将探讨一个有趣的问题------"准备考试"，这个问题来自于一个虚构的情境，但其所涉及的算法和数据结构却是现实世界问题解决中的核心。

问题描述

Monocarc正在准备他的大学第一次考试。考试中将包含n个不同的问题，编号从1到n。教授准备了m个问题列表，每个列表包含n-1个不同的问题。每个列表由一个整数a_i标识，表示该列表中唯一没有的问题的编号。Monocarc知道k个问题的答案。我们需要确定，对于每个列表，如果Monocarc知道所有问题的答案，他将通过考试。

输入输出

输入

第一行包含一个整数t（1 ≤ t ≤ 10^4），表示测试用例的数量。
每个测试用例包含三行：
- 第一行包含三个整数n，m和k（2 ≤ n ≤ 3 * 10^5，1 ≤ m，k ≤ n），分别表示问题的数量、列表的数量和Monocarc知道答案的问题数量。
- 第二行包含m个不同的整数a_1, a_2, ..., a_m，表示每个列表中唯一没有的问题的编号。
- 第三行包含k个不同的整数q_1, q_2, ..., q_k，表示Monocarc知道答案的问题编号。

输出

对于每个测试用例，输出一个由m个字符组成的字符串。如果Monocarc通过第i个问题列表的考试，输出字符为'1'；否则为'0'。

示例

输入

输出

问题分析

这个问题的关键在于如何高效地判断Monocarc是否知道列表中的所有问题。我们可以通过以下步骤来解决这个问题：

创建已知问题集合：首先，我们需要创建一个集合，包含Monocarc知道的所有问题编号。
遍历每个列表：对于每个问题列表，我们需要检查列表中唯一没有的问题编号是否在已知问题集合中。
判断通过与否：如果列表中唯一没有的问题编号不在已知问题集合中，那么Monocarc将通过这个列表的考试。

算法设计

集合操作

在这个问题中，集合操作是关键。我们可以使用Python的set数据结构来存储Monocarc知道的问题编号。集合提供了快速的成员检查，这对于我们的算法至关重要。

算法步骤

读取输入 ：首先，我们需要读取测试用例的数量t，然后对于每个测试用例，读取问题的数量n，列表的数量m，以及Monocarc知道答案的问题数量k。
创建已知问题集合：对于每个测试用例，我们将Monocarc知道的问题编号存储在一个集合中。
遍历列表：对于每个问题列表，我们检查列表中唯一没有的问题编号是否在已知问题集合中。
输出结果：根据上述检查，我们构建一个字符串，表示Monocarc是否通过每个列表的考试。

代码实现

def prepare_for_exam(test_cases):
    results = []
    for n, m, k, known_questions, question_lists in test_cases:
        known_questions_set = set(known_questions)
        
        result = ''
        for a in question_lists:
            if a not in known_questions_set:
                result += '0'
            else:
                result += '1'
        
        results.append(result)
    
    return results

# 读取输入
t = int(input())
test_cases = []

for _ in range(t):
    n, m, k = map(int, input().split())
    known_questions = list(map(int, input().split()))
    question_lists = []
    for _ in range(m):
        question_lists.append(int(input()))
    
    test_cases.append((n, m, k, known_questions, question_lists))

# 调用函数并打印结果
results = prepare_for_exam(test_cases)
for result in results:
    print(result)

代码分析

这段代码首先定义了一个函数prepare_for_exam，它接受一个包含所有测试用例的列表。对于每个测试用例，我们创建一个集合known_questions_set，包含Monocarc知道答案的问题编号。然后，我们遍历每个问题列表，检查列表中唯一没有的问题编号是否在已知问题集合中。如果是，我们在结果字符串中添加'1'，否则添加'0'。最后，我们将结果字符串添加到结果列表中。

扩展讨论

性能考虑

在这个问题中，我们使用了集合来存储已知问题编号，这使得成员检查的时间复杂度为O(1)。这是解决这个问题的关键，因为我们需要对每个列表进行快速检查。

边界条件

在实际应用中，我们还需要考虑一些边界条件，比如当k等于n时，Monocarc知道所有问题的答案，这时他将通过所有列表的考试。另外，当k为0时，他将无法通过任何列表的考试。

算法优化

在某些情况下，我们可能需要进一步优化算法。例如，如果已知问题的数量k非常小，我们可以考虑使用位运算来代替集合操作，以减少内存使用。

结论

通过这个问题，我们不仅学习了如何使用集合来解决实际问题，还了解了算法设计中的关键考虑因素，如性能和边界条件。这个问题是一个很好的例子，展示了如何将理论知识应用到实际问题中。