什么是自治系统和非自治系统

自治系统

自治系统的特征是其状态方程不依赖于时间。举个简单的例子,考虑一阶常微分方程:

d x d t = − x \frac{dx}{dt} = -x dtdx=−x

这是一个经典的指数衰减过程,其中状态 (x) 随时间 (t) 衰减。这个系统是自治的,因为它的演化仅仅依赖于当前的状态 (x),而不受时间的影响。

MATLAB代码示例

matlab 复制代码
% 定义自治系统
function dxdt = autonomous_system(t, x)
    dxdt = -x;  % 系统的状态方程,dx/dt = -x
end

% 初始条件
x0 = 1;  % 初始状态 x(0) = 1

% 时间范围
tspan = [0, 10];  % 从 t = 0 到 t = 10

% 求解微分方程
[t, x] = ode45(@autonomous_system, tspan, x0);

% 绘图
figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State x(t)');
title('Autonomous System: dx/dt = -x');
grid on;

非自治系统

非自治系统的特征是其状态方程显式地依赖于时间。一个典型的例子是:

d x d t = − x + sin ⁡ ( t ) \frac{dx}{dt} = -x + \sin(t) dtdx=−x+sin(t)

在这个例子中,状态的变化不仅依赖于当前的状态 (x),还显式地依赖于时间 (t),通过 (\sin(t)) 项来表示。

MATLAB代码示例

matlab 复制代码
% 定义非自治系统
function dxdt = non_autonomous_system(t, x)
    dxdt = -x + sin(t);  % 系统的状态方程,dx/dt = -x + sin(t)
end

% 初始条件
x0 = 1;  % 初始状态 x(0) = 1

% 时间范围
tspan = [0, 10];  % 从 t = 0 到 t = 10

% 求解微分方程
[t, x] = ode45(@non_autonomous_system, tspan, x0);

% 绘图
figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State x(t)');
title('Non-Autonomous System: dx/dt = -x + sin(t)');
grid on;

总结

  • 自治系统:状态方程仅依赖于状态变量,不依赖时间。其数学形式为:

d x d t = − x \frac{dx}{dt} = -x dtdx=−x

  • 非自治系统:状态方程显式依赖于时间。其数学形式为:

d x d t = − x + sin ⁡ ( t ) \frac{dx}{dt} = -x + \sin(t) dtdx=−x+sin(t)

通过这些代码和公式,可以直观地理解自治系统和非自治系统的区别。

相关推荐
软件算法开发1 小时前
基于LSTM深度学习的网络流量测量算法matlab仿真
深度学习·matlab·lstm·网络流量测量
wheeldown20 小时前
【数学建模】数据预处理入门:从理论到动手操作
python·数学建模·matlab·python3.11
小白的高手之路1 天前
Matlab中的积分——函数int()和quadl()
matlab
机器学习之心1 天前
PINN物理信息神经网络用于求解二阶常微分方程(ODE)的边值问题,Matlab实现
人工智能·神经网络·matlab·物理信息神经网络·二阶常微分方程
WangYan20221 天前
MATLAB 2023a深度学习工具箱全面解析:从CNN、RNN、GAN到YOLO与U-Net,涵盖模型解释、迁移学习、时间序列预测与图像生成的完整实战指南
深度学习·matlab·matlab 2023a
迎风打盹儿1 天前
均匀圆形阵抗干扰MATLAB仿真实录与特点解读
matlab·信号处理·抗干扰·均匀圆阵·波束合成
数维学长9862 天前
【全网最全】《2025国赛/高教杯》C题 思路+代码python和matlab+文献 一到四问 退火算法+遗传算法 NIPT的时点选择与胎儿的异常判定
开发语言·算法·matlab
dlraba8022 天前
用遗传算法破解一元函数最大值问题:从原理到 MATLAB 实现
开发语言·matlab
996终结者3 天前
Python数据分析与处理(二):将数据写回.mat文件的不同方法【超详细】
python·matlab·数据分析
我是水怪的哥3 天前
在时间序列中增加一个阶跃对长期趋势变化的影响
matlab·lake