矩阵的因子分解3-LU分解和LDU分解

矩阵的因子分解3-LU分解和LDU分解

求法归纳

  1. 初始化 U U U 和 L L L
  2. 按列依次化为阶梯形
  3. 得到结果

例 对 U = ( 2 1 − 5 1 1 − 3 0 − 6 0 2 − 1 2 1 4 − 7 6 ) U = \begin{pmatrix}2 & 1 & -5 & 1 \\1 & -3 & 0 & -6 \\0 & 2 & -1 & 2 \\1 & 4 & -7 & 6 \end{pmatrix} U= 21011−324−50−1−71−626 进行LU和LDU分解

1. 初始化 U U U 和 L L L

U = ( 2 1 − 5 1 1 − 3 0 − 6 0 2 − 1 2 1 4 − 7 6 ) L = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 1 & -3 & 0 & -6 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -7 & 6 \end{pmatrix} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} U= 21011−324−50−1−71−626 L= 1000010000100001

处理第一列
  1. 更新 U U U:第一列化为阶梯形
  2. 更新 L L L:主元 U 11 = 2 U_{11} = 2 U11=2,计算乘数:
    L 21 = 1 2 , L 31 = 0 2 = 0 , L 41 = 1 2 L_{21} = \frac{1}{2}, \quad L_{31} = \frac{0}{2} = 0, \quad L_{41} = \frac{1}{2} L21=21,L31=20=0,L41=21
    → ( 2 1 − 5 1 0 − 7 2 5 2 − 13 2 0 2 − 1 2 0 7 2 − 9 2 11 2 ) L = ( 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 1 ) \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 0 & -\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{13}{2} \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & \frac{7}{2} & -\frac{9}{2} & \frac{11}{2} \\ \end{pmatrix} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} → 20001−27227−525−1−291−2132211 L= 121021010000100001
处理第二列
  1. 更新 U U U:第二列化为阶梯形
  2. 更新 L L L:主元 U 22 = − 7 2 U_{22} = -\frac{7}{2} U22=−27,计算乘数:
    L 23 = − 4 7 , L 24 = − 1 L_{23} = -\frac{4}{7}, \quad L_{24} = -1 L23=−74,L24=−1
    → ( 2 1 − 5 1 0 − 7 2 5 2 − 13 2 0 0 3 7 − 12 7 0 0 − 2 − 1 ) L = ( 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 − 4 7 1 0 1 2 − 1 0 1 ) \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 0 & -\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{13}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{7} & -\frac{12}{7} \\ 0 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{4}{7} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} → 20001−2700−52573−21−213−712−1 L= 12102101−74−100100001
处理第三列
  1. 更新 U U U:第三列化为阶梯形
  2. 更新 L L L:主元 U 33 = 3 7 U_{33} = \frac{3}{7} U33=73,计算乘数:
    L 34 = − 14 3 L_{34} = -\frac{14}{3} L34=−314
    → ( 2 1 − 5 1 0 − 7 2 5 2 − 13 2 0 0 3 7 − 12 7 0 0 0 − 9 ) L = ( 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 − 4 7 1 0 1 2 − 1 − 14 3 1 ) \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 0 & -\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{13}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{7} & -\frac{12}{7} \\ 0 & 0 & 0 & -9 \end{pmatrix} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{4}{7} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 & -\frac{14}{3} & 1 \end{pmatrix} → 20001−2700−5257301−213−712−9 L= 12102101−74−1001−3140001
结果

L = ( 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 − 4 7 1 0 1 2 − 1 − 14 3 1 ) U = ( 2 1 − 5 1 0 − 7 2 5 2 − 13 2 0 0 3 7 − 12 7 0 0 0 − 9 ) L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{4}{7} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 & -\frac{14}{3} & 1 \end{pmatrix} U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 0 & -\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{13}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{7} & -\frac{12}{7} \\ 0 & 0 & 0 & -9 \end{pmatrix} L= 12102101−74−1001−3140001 U= 20001−2700−5257301−213−712−9
A = L U = ( 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 − 4 7 1 0 1 2 − 1 − 14 3 1 ) ( 2 1 − 5 1 0 − 7 2 5 2 − 13 2 0 0 3 7 − 12 7 0 0 0 − 9 ) A=LU=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{4}{7} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 & -\frac{14}{3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 1 \\ 0 & -\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{13}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{7} & -\frac{12}{7} \\ 0 & 0 & 0 & -9 \end{pmatrix} A=LU= 12102101−74−1001−3140001 20001−2700−5257301−213−712−9

L = ( 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 − 4 7 1 0 1 2 − 1 − 14 3 1 ) , D = ( 2 0 0 0 0 − 7 2 0 0 0 0 3 7 0 0 0 0 − 9 ) , U ′ = ( 1 1 2 − 5 2 1 2 0 1 − 5 7 13 7 0 0 1 − 4 0 0 0 1 ) L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{4}{7} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & -1 & -\frac{14}{3} & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{7}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -9 \end{pmatrix}, \quad \\ U' = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{5}{7} & \frac{13}{7} \\ 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} L= 12102101−74−1001−3140001 ,D= 20000−270000730000−9 ,U′= 100021100−25−751021713−41

A = L D U ′ A=LDU' A=LDU′

相关推荐
我爱C编程2 小时前
基于拓扑结构检测的LDPC稀疏校验矩阵高阶环检测算法matlab仿真
算法·matlab·矩阵·ldpc·环检测
CVer儿3 小时前
svd分解求旋转平移矩阵
线性代数·算法·矩阵
张晓~183399481219 小时前
数字人分身+矩阵系统聚合+碰一碰发视频: 源码搭建-支持OEM
线性代数·矩阵·音视频
山登绝顶我为峰 3(^v^)311 小时前
如何录制带备注的演示文稿(LaTex Beamer + Pympress)
c++·线性代数·算法·计算机·密码学·音视频·latex
微小冷19 小时前
二关节机器人系统模型推导
线性代数·机器人·概率论·推导·拉格朗日函数·二关节机器人·机器人控制系统的设计
YuTaoShao1 天前
【LeetCode 热题 100】73. 矩阵置零——(解法二)空间复杂度 O(1)
java·算法·leetcode·矩阵
luofeiju2 天前
使用LU分解求解线性方程组
线性代数·算法
FF-Studio2 天前
【硬核数学 · LLM篇】3.1 Transformer之心:自注意力机制的线性代数解构《从零构建机器学习、深度学习到LLM的数学认知》
人工智能·pytorch·深度学习·线性代数·机器学习·数学建模·transformer
szekl2 天前
HDMI 2.0 4×2矩阵切换器412HN——多信号输入输出的高清解决方案
linux·矩阵·计算机外设·电脑·ekl
盛寒3 天前
矩阵的定义和运算 线性代数
线性代数