线性代数概念整理笔记
一、基本概念
- 线性代数：是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系指的是数学对象（比如方程中出现的未知数）之间的关系是以一次形式来表达的。
- 线性方程：含有n个未知量的一次方程。
- 线性方程组：由多个线性方程构成的集合。
- 线性函数：关于变量是一次的函数，如一元、二元线性函数。
- 向量：有方向的量，是线性代数中的基本元素。
- 向量空间：一组向量的集合，这些向量对加法和数乘封闭。
- 矩阵：由数按矩形排列构成的二维数组，是线性代数的基本工具，用于表示线性方程组、线性变换等。
- 行列式：基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量，用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
二、矩阵理论
- 矩阵的加法：两个同型矩阵对应元素相加得到的矩阵。
- 数乘矩阵：一个数与矩阵的每个元素相乘得到的矩阵。
- 矩阵与矩阵相乘：两个矩阵A和B相乘，得到的新矩阵C的元素Cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。
- 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的矩阵。
- 方阵的行列式：n阶方阵A对应的行列式，记作|A|或det(A)。
- 可逆矩阵（非奇异矩阵）：存在一个矩阵B，使得AB=BA=单位矩阵，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
- 伴随矩阵：方阵A的各个元素的代数余子式构成的矩阵的转置矩阵称为A的伴随矩阵。
- 共轭矩阵：对于复数矩阵A，其共轭矩阵是A中每个元素取共轭后得到的矩阵。
- 特殊矩阵 ：包括对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、正定矩阵、半正定矩阵等。
- 对称矩阵：在转置后不变的矩阵。
- 反对称矩阵：在转置后变号的矩阵。
- 正交矩阵：行向量和列向量均为单位向量，且两两正交的矩阵。
- 正定矩阵：每个特征值都大于零的矩阵。
- 半正定矩阵：每个特征值大于等于零的矩阵。
- 矩阵的初等变换：包括行加减、行乘以非零常数、行互换等变换，通过初等变换可以将矩阵化为行最简形，有助于解线性方程组。
- 矩阵的秩：矩阵的最高阶非零子式的阶数，表示矩阵的线性无关行（或列）的最大个数。
- 矩阵的分块：将矩阵分为若干子矩阵，便于进行矩阵运算和分析。
三、线性方程组理论
- 高斯消元法：一种通过初等变换求解线性方程组的方法。
- 克拉默法则：当线性方程组的系数行列式不等于零时，可以利用行列式和常数项构成的行列式求解方程组的解。
- 线性方程组的解的结构：当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系。
四、向量空间与线性变换
- 线性组合：向量组中的向量通过数乘和加法运算得到的向量。
- 线性相关性：向量组中的向量是否存在线性关系。
- 向量组的秩：向量组中的最大线性无关组所含向量的个数。
- 线性变换：将向量空间中的向量映射到另一个向量空间的操作，具有线性性质。
- 特征值与特征向量：描述矩阵的某些性质（如稳定性、旋转等）的量和方向。
五、其他重要概念
- 相似矩阵：如果矩阵A和B可以通过一系列初等变换相互转化，则称A和B相似。
- 对称矩阵的对角化：将对称矩阵化为对角矩阵的过程，对角矩阵的对角线上的元素即为原矩阵的特征值。
- 投影矩阵与最小二乘法：投影矩阵用于将向量投影到某个子空间，最小二乘法是一种求解线性方程组的方法，通过最小化误差的平方和来求解。