线性代数概念整理笔记

一、基本概念

  1. 线性代数:是代数学的一个分支,主要处理线性关系问题。线性关系指的是数学对象(比如方程中出现的未知数)之间的关系是以一次形式来表达的。
  2. 线性方程:含有n个未知量的一次方程。
  3. 线性方程组:由多个线性方程构成的集合。
  4. 线性函数:关于变量是一次的函数,如一元、二元线性函数。
  5. 向量:有方向的量,是线性代数中的基本元素。
  6. 向量空间:一组向量的集合,这些向量对加法和数乘封闭。
  7. 矩阵:由数按矩形排列构成的二维数组,是线性代数的基本工具,用于表示线性方程组、线性变换等。
  8. 行列式:基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量,用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。

二、矩阵理论

  1. 矩阵的加法:两个同型矩阵对应元素相加得到的矩阵。
  2. 数乘矩阵:一个数与矩阵的每个元素相乘得到的矩阵。
  3. 矩阵与矩阵相乘:两个矩阵A和B相乘,得到的新矩阵C的元素Cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。
  4. 矩阵的转置:将矩阵的行和列互换得到的矩阵。
  5. 方阵的行列式:n阶方阵A对应的行列式,记作|A|或det(A)。
  6. 可逆矩阵(非奇异矩阵):存在一个矩阵B,使得AB=BA=单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。
  7. 伴随矩阵:方阵A的各个元素的代数余子式构成的矩阵的转置矩阵称为A的伴随矩阵。
  8. 共轭矩阵:对于复数矩阵A,其共轭矩阵是A中每个元素取共轭后得到的矩阵。
  9. 特殊矩阵 :包括对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、正定矩阵、半正定矩阵等。
    • 对称矩阵:在转置后不变的矩阵。
    • 反对称矩阵:在转置后变号的矩阵。
    • 正交矩阵:行向量和列向量均为单位向量,且两两正交的矩阵。
    • 正定矩阵:每个特征值都大于零的矩阵。
    • 半正定矩阵:每个特征值大于等于零的矩阵。
  10. 矩阵的初等变换:包括行加减、行乘以非零常数、行互换等变换,通过初等变换可以将矩阵化为行最简形,有助于解线性方程组。
  11. 矩阵的秩:矩阵的最高阶非零子式的阶数,表示矩阵的线性无关行(或列)的最大个数。
  12. 矩阵的分块:将矩阵分为若干子矩阵,便于进行矩阵运算和分析。

三、线性方程组理论

  1. 高斯消元法:一种通过初等变换求解线性方程组的方法。
  2. 克拉默法则:当线性方程组的系数行列式不等于零时,可以利用行列式和常数项构成的行列式求解方程组的解。
  3. 线性方程组的解的结构:当线性方程组有无限多个解时,解与解之间的相互关系。

四、向量空间与线性变换

  1. 线性组合:向量组中的向量通过数乘和加法运算得到的向量。
  2. 线性相关性:向量组中的向量是否存在线性关系。
  3. 向量组的秩:向量组中的最大线性无关组所含向量的个数。
  4. 线性变换:将向量空间中的向量映射到另一个向量空间的操作,具有线性性质。
  5. 特征值与特征向量:描述矩阵的某些性质(如稳定性、旋转等)的量和方向。

五、其他重要概念

  1. 相似矩阵:如果矩阵A和B可以通过一系列初等变换相互转化,则称A和B相似。
  2. 对称矩阵的对角化:将对称矩阵化为对角矩阵的过程,对角矩阵的对角线上的元素即为原矩阵的特征值。
  3. 投影矩阵与最小二乘法:投影矩阵用于将向量投影到某个子空间,最小二乘法是一种求解线性方程组的方法,通过最小化误差的平方和来求解。
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