（leetcode算法题）188. 买卖股票的最佳时机 IV

题目中要求最多可以完成k次交易，很多时候不要把问题搞复杂了，

按照题目要求，研究对象是最后一天结束后最多进行了 k 次交易获得的最大利润

那么就可以把问题拆分成

第 1 天结束后完成 0 次交易获得的最大利润，第 1 天结束后完成 1 次交易获得的最大利润，

第 1 天结束后完成 k 次交易获得的最大利润，

第 2 天结束后完成 0 次交易获得的最大利润，第 2 天结束后完成 1 次交易获得的最大利润，

第 2 天结束后完成 k 次交易获得的最大利润，

第 i 天结束后完成 0 次交易获得的最大利润，第 i 天结束后完成 1 次交易获得的最大利润，

第 i 天结束后完成 k 次交易获得的最大利润，

由于规则中强调不能同时参与多笔交易，所以前一天是否持有股票会影响第二天

值得注意的是，需要针对前一天已经处于未持有股票的状态进行特殊分析

已知到了第 i 天的开始，已经完成了 j 次交易，且第 i 天可以买入股票，

那么第 i 天可以做的决策就是：买入股票，或者静观其变

此时买入股票确实会影响之后的递归，但即使买入股票，也不构成新的交易

可以将状态表示定义为：

fij: 第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于持有股票的状态所获得的最大利润

gij: 第 i 天结束后，完成了 j 次交易，处于未持有股票的状态所获得的最大利润

状态转移方程：

gij = gi - 1j;

fij = max(fi - 1j, gi - 1j - pricesij);

if(j - 1 >= 0){

gij = max(gi - 1j, fi - 1j - 1 + pricesij);

}

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k + 1, -1 * 0x3fffff));
        vector<vector<int>> g(n, vector<int>(k + 1, -1 * 0x3fffff));
        // 此题可以不做dp初始化扩容，只需要因为第一天的处于两种状态的情况的最大利润已知
        f[0][0] = -1 * prices[0];
        g[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++){
            for (int j = 0; j < k + 1; j++){
                g[i][j] = g[i - 1][j];
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);
                if(j - 1 >= 0){
                    g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
                }
            }
        }
        int ret = 0;
        for(int j = 0; j <= k; ++j){
            ret = max(ret, g[n - 1][j]);
        }
        return ret;
    }
};