【算法题解】------自然数拆分问题
题目描述
一个整数N(N > 1)可以拆分成若干个大于等于1的自然数之和，请你输出所有不重复的拆分方式 。
所谓拆分方式的重复性 判定如下：
例如 6 = 3 + 2 和 6 = 2 + 3，就是重复的拆分方式。
输入格式:
一个正整数N（1≤N≤52）。
注意：本题N的上限52，是经过PTA平台服务器测试后得到的上限，能够保证较好的搜索策略在PTA提交，在1s内求解。本地PC机上，即使较好方法运行时间也可能大于1s，如果觉得方法没问题，可以先提交试试。
输出格式:
按照拆分方案的字典序由小大到大，输出所有方案，请参考输出样例
输入样例:
在这里给出一组输入。例如：
6
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+1+2
6=1+1+1+3
6=1+1+2+2
6=1+1+4
6=1+2+3
6=1+5
6=2+2+2
6=2+4
6=3+3
6=6
代码
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
void findPartitions(int n, int start, vector<int>& current, vector<vector<int>>& results) {
// 如果剩余值为 0，保存当前方案
if (n == 0) {
results.push_back(current);
return;
}
// 从起始值开始尝试分割
for (int i = start; i <= n; ++i) {
current.push_back(i); // 添加当前数字到拆分方案
findPartitions(n - i, i, current, results); // 递归求解剩余部分
current.pop_back(); // 回溯
}
}
int main() {
int N;
cin >> N;
vector<int> current; // 当前拆分方案
vector<vector<int>> results; // 所有拆分方案
// 找到所有不重复的拆分
findPartitions(N, 1, current, results);
// 按格式输出结果
for (const auto& partition : results) {
cout << N << "=";
for (size_t i = 0; i < partition.size(); ++i) {
cout << partition[i];
if (i != partition.size() - 1) cout << "+";
}
cout << endl;
}
return 0;
}分析解答
这是一个经典的组合问题，目标是找出一个正整数所有可能的加法划分方式。
让我们先通过一个具体的例子来理解这个算法：
假设输入 N = 4，我们来看看算法是如何工作的：
- 函数结构解析
cpp
void findPartitions(int n, // 待划分的数
int start, // 当前可以使用的最小数
vector<int>& current, // 当前正在构建的划分方案
vector<vector<int>>& results) // 存储所有划分方案- 递归的工作原理
以N=4为例，让我们跟踪完整的递归过程：
第一层递归（n=4, start=1）：
- 选择1：current=[1]
- 第二层递归（n=3, start=1）
- 选择1：current=[1,1]
- 第三层...current=[1,1,1]
- 第四层...current=[1,1,1,1] ✓ (找到方案4=1+1+1+1)
- 选择2：current=[1,2]
- 第三层...current=[1,2,1] ✓ (找到方案4=1+2+1)
- 选择3：current=[1,3] ✓ (找到方案4=1+3)
- 选择2：current=[2]
- 第二层递归（n=2, start=2）
- 选择2：current=[2,2] ✓ (找到方案4=2+2)
- 选择3：current=[3]
- 继续递归...
- 选择4：current=[4] ✓ (找到方案4=4)
- 关键代码部分解析
cpp
// 基本情况：当待划分的数变为0时
if (n == 0) {
results.push_back(current); // 找到一个有效的划分方案
return;
}
// 尝试所有可能的数字
for (int i = start; i <= n; ++i) {
current.push_back(i); // 选择当前数字
findPartitions(n - i, i, current, results); // 递归处理剩余的数
current.pop_back(); // 回溯：撤销选择，尝试下一个可能的数字
}- 算法的精妙之处
- 避免重复：使用start参数确保每个新的数字不小于之前使用的数字，这样可以避免生成重复的划分方案（比如避免同时出现1+2和2+1）
- 回溯设计：使用vector的push_back和pop_back操作实现回溯，保证在尝试不同方案时不会互相影响
- 递归终止：当n变为0时找到一个完整的划分方案，这是一个清晰的递归终止条件
- 输出格式处理
cpp
for (const auto& partition : results) {
cout << N << "=";
for (size_t i = 0; i < partition.size(); ++i) {
cout << partition[i];
if (i != partition.size() - 1) cout << "+";
}
cout << endl;
}这部分代码保证了输出格式符合要求，比如"4=1+1+1+1"这样的形式。
- 算法复杂度
- 时间复杂度：O(2^N)，因为每个数字都有选择和不选择两种可能
- 空间复杂度：O(N)，主要是递归调用栈的深度
这个算法是递归 和回溯思想的经典应用。它通过系统地尝试所有可能的划分方式，同时巧妙地避免了重复，最终找到了所有可能的划分方案。