动态规划解决整数拆分问题

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思路:

(1).确定dp数组的含义:

dpi:分拆数字i，可以得到的最大乘积为dpi

(2).确定递推公式:

dpi最大乘积是怎么得到:

其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dpi.

一个是**j * (i - j)**直接相乘。

一个是j * dpi - j ，相当于是拆分(i - j)

**因此递推公式为:**dpi = max(dpi, max((i - j) * j, dpi - j * j))

注意这里在确定dpi时从1到i遍历j时更新dpi需要比较三个内容，分别是原始的dpi,j*(i-j)以及j*dpi-j,取这三个数的最大值更新dpi

(3).初始化dp数组:

严格从dpi的定义来说，dp0 dp1 就不应该初始化，也就是没有意义的数值

只初始化dp2 = 1，从dpi的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议

(4).确定遍历顺序:

遍历i一定是从前向后遍历，先有dpi - j再有dpi

枚举j的时候，是从1开始的,从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义

j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的

但是j的遍历只需要遍历到i/2(包含)就可以，后面就没有必要遍历

Java代码:

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i/2; j++) {
                // 这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已，
                //并且，在本题中，我们分析 dp[0], dp[1]都是无意义的，
                //j 最大到 i-j,就不会用到 dp[0]与dp[1]
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
                // j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ，再相乘
                //而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
            }
        }
        return dp[n];
    }
}