NSGA-II(非支配排序遗传算法II)详解与实现

NSGA-II(非支配排序遗传算法II)详解与实现

1. 算法简介

NSGA-II(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II)是一种高效的多目标优化算法，由Deb等人在2002年提出。它主要解决多个目标之间相互冲突的优化问题。

1.1 核心特点

1. 快速非支配排序

   • 时间复杂度：O(MN²)
   • M为目标数量，N为种群大小
   • 比NSGA的O(MN³)更高效

2. 拥挤度距离

   • 保持种群多样性
   • 不需要用户定义分享参数
   • 避免使用小生境技术

3. 精英策略

   • 保留父代和子代中的优秀个体
   • 确保最优解不会丢失
   • 加快收敛速度

1.2 基本概念

1. 帕累托支配关系

   对于最小化问题，解x支配解y，需满足：

   • ∀ i : f i ( x ) ≤ f i ( y ) \forall i: f_i(x) \leq f_i(y) ∀i:fi(x)≤fi(y)
   • ∃ j : f j ( x ) < f j ( y ) \exists j: f_j(x) < f_j(y) ∃j:fj(x)<fj(y)

2. 帕累托前沿

   • 由非支配解构成
   • 表示目标之间的最优折中
   • 为决策者提供选择空间

2. 算法流程

2.1 主要步骤

1. 初始化种群P(t)
2. 生成子代Q(t)
3. 合并R(t) = P(t) ∪ Q(t)
4. 对R(t)进行非支配排序
5. 根据排序和拥挤度选择新种群P(t+1)
6. 重复步骤2-5直到满足终止条件

2.2 关键组件

1. 快速非支配排序

def fast_non_dominated_sort(population, objectives):
    """
    快速非支配排序
    返回：各个等级的解集合
    """
    n = len(population)
    domination_count = np.zeros(n)  # 被支配次数
    dominated_solutions = [[] for _ in range(n)]  # 支配的解
    fronts = [[]]  # 非支配等级
    
    # 计算支配关系
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if dominates(objectives[i], objectives[j]):
                dominated_solutions[i].append(j)
                domination_count[j] += 1
            elif dominates(objectives[j], objectives[i]):
                dominated_solutions[j].append(i)
                domination_count[i] += 1
    
    # 找出第一个非支配前沿
    for i in range(n):
        if domination_count[i] == 0:
            fronts[0].append(i)
    
    # 生成其他等级的前沿
    i = 0
    while fronts[i]:
        next_front = []
        for j in fronts[i]:
            for k in dominated_solutions[j]:
                domination_count[k] -= 1
                if domination_count[k] == 0:
                    next_front.append(k)
        i += 1
        fronts.append(next_front)
    
    return fronts[:-1]  # 去掉最后一个空集

2. 拥挤度距离计算

def crowding_distance(objectives, front):
    """
    计算一个前沿中各个解的拥挤度距离
    """
    n = len(front)
    if n <= 2:
        return [float('inf')] * n
        
    distances = [0] * n
    m = objectives.shape[1]  # 目标数量
    
    for i in range(m):
        # 对每个目标进行排序
        sorted_idx = sorted(range(n), key=lambda k: objectives[front[k], i])
        
        # 端点设为无穷大
        distances[sorted_idx[0]] = float('inf')
        distances[sorted_idx[-1]] = float('inf')
        
        # 计算中间点的距离
        obj_range = objectives[front[sorted_idx[-1]], i] - objectives[front[sorted_idx[0]], i]
        if obj_range == 0:
            continue
            
        for j in range(1, n-1):
            distances[sorted_idx[j]] += (
                objectives[front[sorted_idx[j+1]], i] - 
                objectives[front[sorted_idx[j-1]], i]
            ) / obj_range
            
    return distances

3. 完整实现

import numpy as np
from typing import List, Tuple, Union

class NSGA2:
    def __init__(
        self,
        pop_size: int = 100,
        n_generations: int = 100,
        n_objectives: int = 2,
        n_variables: int = 30,
        mutation_rate: float = 0.01,
        crossover_rate: float = 0.9,
        variable_bounds: Union[List[Tuple[float, float]], None] = None
    ):
        self.pop_size = pop_size
        self.n_generations = n_generations
        self.n_objectives = n_objectives
        self.n_variables = n_variables
        self.mutation_rate = mutation_rate
        self.crossover_rate = crossover_rate
        
        # 如果没有指定变量范围，默认为[0,1]
        if variable_bounds is None:
            self.variable_bounds = [(0, 1)] * n_variables
        else:
            self.variable_bounds = variable_bounds
            
    def create_offspring(self, population: np.ndarray) -> np.ndarray:
        """生成子代"""
        offspring = np.zeros_like(population)
        
        for i in range(0, self.pop_size, 2):
            # 选择父代
            parent1_idx = self.tournament_selection(population)
            parent2_idx = self.tournament_selection(population)
            
            # 交叉
            if np.random.random() < self.crossover_rate:
                child1, child2 = self.simulated_binary_crossover(
                    population[parent1_idx],
                    population[parent2_idx]
                )
            else:
                child1 = population[parent1_idx].copy()
                child2 = population[parent2_idx].copy()
                
            # 变异
            child1 = self.polynomial_mutation(child1)
            child2 = self.polynomial_mutation(child2)
            
            offspring[i] = child1
            offspring[i+1] = child2
            
        return offspring
    
    def tournament_selection(self, population: np.ndarray, tournament_size: int = 2) -> int:
        """锦标赛选择"""
        idx = np.random.randint(0, self.pop_size, tournament_size)
        return idx[0]  # 简化版本，实际应该比较个体的非支配等级和拥挤度
    
    def simulated_binary_crossover(self, parent1: np.ndarray, parent2: np.ndarray,
                                 eta: float = 20) -> Tuple[np.ndarray, np.ndarray]:
        """模拟二进制交叉"""
        child1 = np.zeros_like(parent1)
        child2 = np.zeros_like(parent2)
        
        for i in range(self.n_variables):
            if np.random.random() < 0.5:
                child1[i] = parent1[i]
                child2[i] = parent2[i]
                continue
                
            # 模拟二进制交叉
            beta = self._get_beta(eta)
            child1[i] = 0.5 * ((1 + beta) * parent1[i] + (1 - beta) * parent2[i])
            child2[i] = 0.5 * ((1 - beta) * parent1[i] + (1 + beta) * parent2[i])
            
            # 边界处理
            lower, upper = self.variable_bounds[i]
            child1[i] = np.clip(child1[i], lower, upper)
            child2[i] = np.clip(child2[i], lower, upper)
            
        return child1, child2
    
    def _get_beta(self, eta: float) -> float:
        """获取交叉参数beta"""
        u = np.random.random()
        if u <= 0.5:
            return (2 * u) ** (1 / (eta + 1))
        return (1 / (2 * (1 - u))) ** (1 / (eta + 1))
    
    def polynomial_mutation(self, individual: np.ndarray, eta: float = 20) -> np.ndarray:
        """多项式变异"""
        child = individual.copy()
        
        for i in range(self.n_variables):
            if np.random.random() > self.mutation_rate:
                continue
                
            lower, upper = self.variable_bounds[i]
            delta = upper - lower
            
            # 多项式变异
            r = np.random.random()
            if r < 0.5:
                delta_l = (2 * r) ** (1 / (eta + 1)) - 1
            else:
                delta_l = 1 - (2 * (1 - r)) ** (1 / (eta + 1))
                
            child[i] += delta_l * delta
            child[i] = np.clip(child[i], lower, upper)
            
        return child
    
    def calculate_objectives(self, population: np.ndarray) -> np.ndarray:
        """计算目标函数值"""
        return np.array([zdt1(x) for x in population])
    
    def select_by_crowding(self, front: List[int], crowding_dist: List[float],
                          n_select: int) -> List[int]:
        """根据拥挤度距离选择个体"""
        sorted_idx = sorted(range(len(front)),
                          key=lambda k: crowding_dist[k],
                          reverse=True)
        return [front[i] for i in sorted_idx[:n_select]]
    
    def evolve(self, initial_population: np.ndarray) -> np.ndarray:
        """执行进化过程"""
        population = initial_population
        
        for gen in range(self.n_generations):
            # 生成子代
            offspring = self.create_offspring(population)
            
            # 合并父代和子代
            combined_pop = np.vstack([population, offspring])
            
            # 计算目标值
            objectives = self.calculate_objectives(combined_pop)
            
            # 非支配排序
            fronts = fast_non_dominated_sort(combined_pop, objectives)
            
            # 选择新种群
            new_population = []
            for front in fronts:
                if len(new_population) + len(front) <= self.pop_size:
                    new_population.extend(front)
                else:
                    # 计算拥挤度距离
                    crowding_dist = crowding_distance(objectives, front)
                    # 根据拥挤度选择剩余个体
                    remaining = self.pop_size - len(new_population)
                    selected = self.select_by_crowding(front, crowding_dist, remaining)
                    new_population.extend(selected)
                    break
            
            population = combined_pop[new_population]
            
            if gen % 10 == 0:
                print(f"Generation {gen}: Population size = {len(population)}")
            
        return population

def dominates(obj1: np.ndarray, obj2: np.ndarray) -> bool:
    """判断obj1是否支配obj2"""
    return np.all(obj1 <= obj2) and np.any(obj1 < obj2)

def fast_non_dominated_sort(population: np.ndarray, objectives: np.ndarray) -> List[List[int]]:
    """快速非支配排序"""
    n = len(population)
    domination_count = np.zeros(n)
    dominated_solutions = [[] for _ in range(n)]
    fronts = [[]]
    
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if dominates(objectives[i], objectives[j]):
                dominated_solutions[i].append(j)
                domination_count[j] += 1
            elif dominates(objectives[j], objectives[i]):
                dominated_solutions[j].append(i)
                domination_count[i] += 1
    
    for i in range(n):
        if domination_count[i] == 0:
            fronts[0].append(i)
            
    i = 0
    while fronts[i]:
        next_front = []
        for j in fronts[i]:
            for k in dominated_solutions[j]:
                domination_count[k] -= 1
                if domination_count[k] == 0:
                    next_front.append(k)
        i += 1
        fronts.append(next_front)
    
    return fronts[:-1]

def crowding_distance(objectives: np.ndarray, front: List[int]) -> List[float]:
    """计算拥挤度距离"""
    n = len(front)
    if n <= 2:
        return [float('inf')] * n
        
    distances = [0] * n
    m = objectives.shape[1]
    
    for i in range(m):
        sorted_idx = sorted(range(n), key=lambda k: objectives[front[k], i])
        distances[sorted_idx[0]] = float('inf')
        distances[sorted_idx[-1]] = float('inf')
        
        obj_range = objectives[front[sorted_idx[-1]], i] - objectives[front[sorted_idx[0]], i]
        if obj_range == 0:
            continue
            
        for j in range(1, n-1):
            distances[sorted_idx[j]] += (
                objectives[front[sorted_idx[j+1]], i] - 
                objectives[front[sorted_idx[j-1]], i]
            ) / obj_range
            
    return distances

4. 应用示例

让我们以一个经典的多目标优化问题ZDT1为例：

def zdt1(x: np.ndarray) -> np.ndarray:
    """ZDT1测试函数"""
    f1 = x[0]
    g = 1 + 9 * np.mean(x[1:])
    f2 = g * (1 - np.sqrt(f1/g))
    return np.array([f1, f2])

# 运行示例
if __name__ == "__main__":
    nsga2 = NSGA2(pop_size=100, n_generations=100, n_variables=30)
    initial_pop = np.random.random((100, 30))
    final_pop = nsga2.evolve(initial_pop)
    
    # 计算最终种群的目标值
    final_objectives = nsga2.calculate_objectives(final_pop)
    
    # 绘制帕累托前沿
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.scatter(final_objectives[:, 0], final_objectives[:, 1])
    plt.xlabel('f1')
    plt.ylabel('f2')
    plt.title('Pareto Front')
    plt.grid(True)
    plt.show()

5. 完整实现与解析

让我们逐块解析NSGA-II的完整实现，理解每个部分的作用和原理。

5.1 类的初始化

def __init__(
    self,
    pop_size: int = 100,
    n_generations: int = 100,
    n_objectives: int = 2,
    n_variables: int = 30,
    mutation_rate: float = 0.01,
    crossover_rate: float = 0.9,
    variable_bounds: Union[List[Tuple[float, float]], None] = None
):

这部分就像是在准备一场比赛：

• pop_size：决定有多少选手参加（种群大小）
• n_generations：比赛要进行多少轮（迭代次数）
• n_objectives：评判标准有几个（目标函数数量）
• n_variables：每个选手有多少个可调整的参数
• mutation_rate：选手自我调整的概率
• crossover_rate：选手互相学习的概率
• variable_bounds：每个参数的取值范围

5.2 生成子代

def create_offspring(self, population: np.ndarray) -> np.ndarray:
    """生成子代"""
    offspring = np.zeros_like(population)
    
    for i in range(0, self.pop_size, 2):
        # 选择父代
        parent1_idx = self.tournament_selection(population)
        parent2_idx = self.tournament_selection(population)
        
        # 交叉和变异
        if np.random.random() < self.crossover_rate:
            child1, child2 = self.simulated_binary_crossover(
                population[parent1_idx],
                population[parent2_idx]
            )
        else:
            child1 = population[parent1_idx].copy()
            child2 = population[parent2_idx].copy()

这就像是在进行一场配对比赛：

1. 每次选两个选手（父代）
2. 让他们互相学习（交叉）
3. 产生两个新选手（子代）
4. 新选手可能会有一些自己的创新（变异）

5.3 模拟二进制交叉

def simulated_binary_crossover(self, parent1: np.ndarray, parent2: np.ndarray,
                             eta: float = 20) -> Tuple[np.ndarray, np.ndarray]:

这就像两个选手互相学习的过程：

1. eta参数控制学习程度：
   • 值越大，子代越像父代
   • 值越小，变化越大
2. 每个参数都有机会被交换或混合
3. 确保新的参数不会超出范围

举个例子：

• 父代1的某个参数是0.3
• 父代2的某个参数是0.7
• 交叉后可能得到0.4和0.6两个新值

5.4 多项式变异

def polynomial_mutation(self, individual: np.ndarray, eta: float = 20) -> np.ndarray:

这就像选手在尝试新东西：

1. 每个参数都有小概率发生改变
2. 改变的幅度由eta控制：
   • 值越大，改变越小
   • 值越小，改变越大
3. 确保改变后的值仍在允许范围内

比如：

• 原来的参数值是0.5
• 变异后可能变成0.48或0.52

5.5 非支配排序

def fast_non_dominated_sort(population: np.ndarray, objectives: np.ndarray):

这就像对选手进行分级：

1. 第一级：没有人比他们更好的选手
2. 第二级：除去第一级后，没有人比他们更好的选手
3. 以此类推...

举例：

• A选手：速度快，耐力好 → 第一级
• B选手：速度快，耐力一般 → 第二级
• C选手：速度一般，耐力好 → 第二级
• D选手：速度慢，耐力差 → 第三级

5.6 拥挤度距离

def crowding_distance(objectives: np.ndarray, front: List[int]):

这就像测量选手之间的独特性：

1. 在同一级别中
2. 看看每个选手与周围选手的不同程度
3. 不同程度越大，得分越高

比如在第一级中：

• A选手：与其他人很不同 → 高分
• B选手：与C选手很相似 → 低分
• C选手：与B选手很相似 → 低分

5.7 进化主循环

def evolve(self, initial_population: np.ndarray):

整个过程就像一个循环的比赛：

1. 现有选手比赛
2. 产生新选手
3. 所有选手一起评级
4. 选出最好的一批进入下一轮
5. 重复这个过程

每一代都会：

• 保留最优秀的选手
• 淘汰表现差的选手
• 产生新的选手

5.8 测试函数

def zdt1(x: np.ndarray) -> np.ndarray:

这是一个测试案例，就像是给选手设置的考试：

1. 有两个目标：
   • 第一个目标：x[0]越小越好
   • 第二个目标：一个复杂的计算结果越小越好
2. 这两个目标是相互冲突的
3. 需要找到多个平衡的解

6. 结果分析

6.1 帕累托前沿

从上图的帕累托前沿我们可以观察到以下特点：

1. 前沿形状

   • 呈现出平滑的凹形曲线
   • f1从0到1分布
   • f2从约1.4到3.8分布
   • 这是典型的ZDT1测试问题的理论前沿形状

2. 解的分布

   • 点的分布较为均匀
   • 覆盖了整个决策空间
   • 没有明显的间隙
   • 在两端的解密度略低

3. 权衡关系

   • 清晰展示了f1和f2之间的此消彼长关系
   • 当f1接近0时，f2达到最大值(约3.8)
   • 当f1接近1时，f2达到最小值(约1.4)
   • 中间区域展示了两个目标的平衡点

4. 算法性能表现

   • 收敛性：

     • 解都落在一条光滑曲线上
     • 没有明显的离群点
     • 说明算法收敛性良好

   • 多样性：

     • 解在整个前沿上分布均匀
     • 端点解被很好地保留
     • 说明拥挤度距离机制效果良好

   • 前沿完整性：

     • 覆盖了整个帕累托前沿
     • 没有明显的空缺区域
     • 说明算法的搜索能力强

6.2 实际应用意义

这个结果在实际应用中意味着：

1. 决策支持

   • 为决策者提供了一系列可选的折中方案
   • 每个点代表一个不同的权衡方案
   • 决策者可以根据实际需求选择合适的解

2. 方案选择

   • 如果更重视f1（第一个目标），可以选择右侧的解
   • 如果更重视f2（第二个目标），可以选择左侧的解
   • 如果需要平衡，可以选择中间区域的解

3. 解的特点

   • 左上角的解：f1较小，f2较大
   • 右下角的解：f1较大，f2较小
   • 中间的解：两个目标都处于中等水平

总结

NSGA-II算法通过其高效的非支配排序和新颖的拥挤度计算机制，成功解决了多目标优化问题中的三个关键问题：

1. 如何引导种群向帕累托前沿收敛
2. 如何保持解的多样性
3. 如何保留精英个体

这使得NSGA-II成为了多目标优化领域最受欢迎的算法之一。