矩阵和向量点乘叉乘元素乘

Date: 2025.01.07

Author: Xin Pan

回顾下矩阵和向量的各种乘法。

向量

点乘

又叫做点积、内积、数量积、标量积。 a = $a 1 , a 2 , . . . , a n$ a= $a_1,a_2,...,a_n$ a= $a1,a2,...,an$ 和 b = $b 1 , b 2 , . . . , b n$ b= $b_1,b_2,...,b_n$ b= $b1,b2,...,bn$ 点乘的结果是一个标量，记作 a . b a.b a.b

a . b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n a.b=\sum_{i=1}^na_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n a.b=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn

叉乘

又叫向量积、外积、叉积，叉乘， a = $a 1 , a 2 , . . . , a n$ a= $a_1,a_2,...,a_n$ a= $a1,a2,...,an$ 和 b = $b 1 , b 2 , . . . , b n$ b= $b_1,b_2,...,b_n$ b= $b1,b2,...,bn$ 叉乘的运算结果是一个向量，并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直，记作 a x b axb axb

a x b = ( a 2 b 3 − b 2 a 3 , − a 1 b 3 + b 1 a 3 , a 1 b 2 − b 1 a 2 ) axb=(a_2b_3-b_2a_3,-a_1b_3+b_1a_3,a_1b_2-b_1a_2) axb=(a2b3−b2a3,−a1b3+b1a3,a1b2−b1a2)

元素乘（我自己起的名，为了方便理解）

对应位置元素相成，维度不变。

python 复制代码

import numpy as np

if __name__ == "__main__":
    a = np.array([1, 2, 3])
    b = np.array([4, 5, 6])

    print(f"Dot={np.dot(a,b)}")
    print(f"Cross={np.cross(a,b)}")
    print(f"@ times={a@b}")
    print(f"* times={a*b}")
    print(f"np.multiply={np.multiply(a,b)}")

结果

latex 复制代码

Dot=32
Cross=[-3  6 -3]
@ times=32
* times=[ 4 10 18]
np.multiply=[ 4 10 18]

矩阵

点乘

是矩阵各个对应元素相乘, 这个时候要求两个矩阵必须同样大小。做的事和向量的元素乘一样的。可以直接使用星号(*)进行表示。

叉乘

矩阵的乘法就是矩阵a的第m行乘以矩阵b的第n列，各个元素对应相乘然后求和作为第m行n列元素的值。使用np.dot函数执行，也可以使用@计算。

元素乘（我自己起的名，为了方便理解）

和矩阵点乘做的是一样的事情。

python 复制代码

import numpy as np

if __name__ == "__main__":
    a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
    b = np.array([[7, 8, 9], [10, 11, 12]])

    print(f"Dot={np.dot(a,b.T)}")
    print(f"Cross={np.cross(a,b)}")
    print(f"@ times={a@b.T}")
    print(f"* times={a*b}")
    print(f"np.multiply={np.multiply(a,b)}")

结果

latex 复制代码

Dot=[[ 50  68]
 [122 167]]
Cross=[[-6 12 -6]
 [-6 12 -6]]
@ times=[[ 50  68]
 [122 167]]
* times=[[ 7 16 27]
 [40 55 72]]
np.multiply=[[ 7 16 27]
 [40 55 72]]

总结

	维度	点乘结果	叉乘结果	元素乘结果
向量	$1,N$ 或 $N,1$	数	向量	向量
矩阵	$M,N$ M，N可能一致	矩阵	矩阵	矩阵

	维度	点乘表示	叉乘表示	元素乘表示
向量	$1,N$ 或 $N,1$	np.dot or @	np.cross	* or multiply
矩阵	$M,N$ M，N可能一致	* or multiply	np.dot or @	* or multiply