重生之我在异世界学编程之算法与数据结构：深入堆篇

就爱学编程2025-01-10 8:06

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本文目录

那接下来就让我们开始遨游在知识的海洋！

正文

一、堆的基本概念

堆是一种特殊的树形数据结构，它完全是一棵二叉树。堆分为最大堆和最小堆两种类型：

  • 最大堆：在最大堆中，父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值。换句话说，根节点是整个堆中键值最大的节点。
  • 最小堆：在最小堆中，父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。也就是说，根节点是整个堆中键值最小的节点。

堆通常用于实现优先队列，并且能在对数时间内完成插入、删除以及查找最值等操作。

二、堆的存储表示

  • 堆一般使用数组来实现，这是因为堆是完全二叉树的一种特殊形式，其性质使得我们可以利用数组的索引关系来方便地表示堆的结构。对于一个包含n个元素的零基数组来说：
    对于任意给定的索引i：

左子节点的索引为 (2*i + 1)

右子节点的索引为 (2*i + 2)

父节点的索引为 ((i - 1) / 2)（注意这是整数除法）

这种表示方法使得堆的操作变得非常简单高效。

三、堆的基本操作

1. 插入元素（Insert）

向堆中插入一个新元素的过程如下：
将新元素添加到堆的末尾（即数组的最后一个位置）。

然后，从该位置开始向上调整堆，以维护堆的性质。这通常是通过"上浮"（bubble up）或"筛选"（sift up）操作来实现的。

具体步骤如下（以最大堆为例）：

c 复制代码 
 
void heapInsert(int arr[], int &heapSize, int element) {
    // Step 1: Add the new element at end
    arr[heapSize] = element;
    heapSize++;

    // Step 2: Fix the max heap property if it is violated
    int i = heapSize - 1;
    while (i != 0 && arr[(i - 1) / 2] < arr[i]) {
        // Swap current node with its parent
        swap(&arr[i], &arr[(i - 1) / 2]);
        i = (i - 1) / 2; // Move to parent index
    }
}

2. 删除最大/最小值（Extract Max/Min）

从堆中删除最大或最小值的过程如下（以最大堆为例）：
将根节点（即最大值）与堆的最后一个元素交换。

减少堆的大小（即将堆的最后一个元素移除）。

从新的根节点开始向下调整堆，以维护堆的性质。这通常是通过"下沉"（bubble down）或"筛选"（sift down）操作来实现的。

具体步骤如下：

c 复制代码 
int heapExtractMax(int arr[], int &heapSize) {
    if (heapSize <= 0) return INT_MIN; // Return an invalid value if heap is empty

    // Store the maximum value, and remove it from heap
    int root = arr[0];
    arr[0] = arr[heapSize - 1];
    heapSize--;

    // Fix the max heap property if it is violated
    maxHeapify(arr, 0, heapSize);

    return root;
}

void maxHeapify(int arr[], int i, int heapSize) {
    int largest = i; // Initialize largest as root
    int left = 2 * i + 1; // left child index
    int right = 2 * i + 2; // right child index

    // If left child is larger than root
    if (left < heapSize && arr[left] > arr[largest])
        largest = left;

    // If right child is larger than largest so far
    if (right < heapSize && arr[right] > arr[largest])
        largest = right;

    // If largest is not root
    if (largest != i) {
        swap(&arr[i], &arr[largest]);

        // Recursively heapify the affected sub-tree
        maxHeapify(arr, largest, heapSize);
    }
}

3. 构建堆（Build Heap）

将一个无序数组构建成一个堆的过程可以通过以下步骤实现：
从最后一个非叶子节点开始，依次对每个节点执行"下沉"操作，直到根节点为止。

具体步骤如下（以最大堆为例）：

c 复制代码 
void buildMaxHeap(int arr[], int n) {
    int startIdx = (n / 2) - 1; // Last non-leaf node

    for (int i = startIdx; i >= 0; i--) {
        maxHeapify(arr, i, n);
    }
}

四、源码

注意：这是小编自己写的，可能有不足之处，仅供参考！！！

（1）heap.h

c 复制代码 
#pragma once

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* _a;
	int _size;
	int _capacity;
}Heap;

//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php);

// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);

// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);

// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);

// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);

// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

//对调
void Swap(HPDataType* ptr1, HPDataType* ptr2);


//向上调整（使用条件：除了child对应的数据，其他的构成堆）
void AujustUp(HPDataType* a, int child);

//向下调整（使用条件：左右子树都是大堆或小堆）
void AujustDown(HPDataType* a, int size, int parent);

（2）heap.c

c 复制代码 
#include"heap.h"

//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php) {
	assert(php);
	HPDataType* temp = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 4);
	if (temp ==NULL) {
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	php->_a = temp;
	php->_capacity = 4;
	php->_size = 0;
}

// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* php) {
	assert(php);
	free(php->_a);
	php->_a = NULL;
	php->_capacity = 0;
	php->_size = 0;
}

//对调
void Swap(HPDataType* ptr1, HPDataType* ptr2) {
	assert(ptr1 && ptr2);
	HPDataType temp = *ptr1;
	*ptr1 = *ptr2;
	*ptr2 = temp;
}

//向上调整（使用条件：除了child对应的数据，其他的构成堆）
void AujustUp(HPDataType* a, int child) {
	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0) {
		if (a[child] > a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
		}
		else {
			break;
		}
		child = parent;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}

// 堆的插入（从尾插入，向上调整）
void HeapPush(Heap* php, HPDataType x) {
	assert(php);

	if (php->_capacity == php->_size) {
		HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->_a, sizeof(HPDataType) * 2 * php->_capacity);
		if (temp == NULL) {
			perror("realloc fail");
			return;
		}
		php->_a = temp;
		php->_capacity *= 2;
	}

	
	php->_a[php->_size] = x;
	++php->_size;

	AujustUp(php->_a, php->_size - 1);
}

//向下调整（使用条件：左右子树都是大堆或小堆）
void AujustDown(HPDataType* a, int size, int parent) {
	assert(a);
	int bigchild = parent * 2 + 1;				//先假设大孩子是左孩子
	while (bigchild < size) {
		//先找到真正数值大的孩子的下标
		if (bigchild + 1 < size && a[bigchild] < a[bigchild + 1])			//小堆'<'改成'>'
		{
			++bigchild;
		}
		if (a[bigchild] > a[parent]) {										//小堆'>'改成'<'
			Swap(&a[bigchild], &a[parent]);
			parent = bigchild;
			bigchild = parent * 2 + 1;				//还是先假设大孩子是左孩子
		}
		else {
			break;
		}
	}
}

// 堆的删除（删掉堆顶，向下调整）
void HeapPop(Heap* php) {
	assert(php && php->_size);
	//采用堆顶数据和堆尾数据对调，再向下调整的优势在于效率高，且不会改变大部分的父子关系
	Swap(&php->_a[0], &php->_a[php->_size - 1]);
	--php->_size;

	AujustDown(php->_a, php->_size, 0);
}

//
void HeapInitArray(Heap* php, int* a, int n)
{
	assert(php);

	php->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->_a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}

	php->_size = n;
	php->_capacity = n;

	// 建堆
	for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(php->_a, php->_size, i);
	}
}

// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* php) {
	assert(php && php->_size);
	return php->_a[0];
}

// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* php) {
	assert(php && php->_size);
	return php->_size;
}

// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* php) {
	assert(php);
	return php->_size == 0;
}

（3）Test.c

c 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include"heap.h"

int main() {
	Heap heap;
	//堆的初始化
	HeapInit(&heap);

	//堆插入
	HeapPush(&heap, 1);
	HeapPush(&heap, 2);
	HeapPush(&heap, 17);
	HeapPush(&heap, 16);
	HeapPush(&heap, 18);
	HeapPush(&heap, 111);
	HeapPush(&heap, 21);
	HeapPush(&heap, 14);
	HeapPush(&heap, 61);

	//堆删除
	HeapPop(&heap);
	HeapPop(&heap);
	HeapPop(&heap);
	HeapPop(&heap);

	//根据自己需求观察堆内数据（大堆）
	int k = 0;
	scanf("%d", &k);
	while (!HeapEmpty(&heap) && k--)
	{
		printf("%d ", HeapTop(&heap));
		HeapPop(&heap);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}

五、堆的应用

1. 优先队列

堆是实现优先队列的理想数据结构。在优先队列中，每个元素都有一个优先级，出队顺序是按照优先级的高低来进行的。最大堆可以用于实现一个最大优先队列，而最小堆则可以用于实现一个最小优先队列。

2. 堆排序

  • 堆排序是一种基于堆的比较排序算法。它的基本思想是先将待排序序列构造成一个大顶堆，此时整个序列的最大值就是堆顶的元素。然后将其与末尾元素交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

堆排序的具体步骤如下：

  • 构建最大堆（Build Max Heap）：将待排序序列构造成一个大顶堆。
    交换堆顶元素与末尾元素（Swap and Reduce Heap Size）：将当前堆顶元素（最大值）与末尾元素交换，并将堆的大小减1。
    重新调整堆（Heapify）：对新的堆顶元素进行调整，使其满足堆的性质。
    重复步骤2和3，直到堆的大小为1。

具体代码实现如下：

c 复制代码 
 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// Function to swap two elements
void swap(int* a, int* b) {
    int t = *a;
    *a = *b;
    *b = t;
}

// Function to heapify a subtree rooted with node i which is an index in arr[]
void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i; // Initialize largest as root
    int left = 2 * i + 1; // left = 2*i + 1
    int right = 2 * i + 2; // right = 2*i + 2

    // See if left child of root exists and is greater than root
    if (left < n && arr[left] > arr[largest])
        largest = left;

    // See if right child of root exists and is greater than root
    if (right < n && arr[right] > arr[largest])
        largest = right;

    // Change root, if needed
    if (largest != i) {
        swap(&arr[i], &arr[largest]);

        // Heapify the root.
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

// Main function to do heap sort
void heapSort(int arr[], int n) {
    // Build heap (rearrange array)
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
        heapify(arr, n, i);

    // One by one extract an element from heap
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        // Move current root to end
        swap(&arr[0], &arr[i]);

        // call max heapify on the reduced heap
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

// A utility function to print array of size n
void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        printf("%d ", arr[i]);
    printf("
");
}

// Driver program to test above functions
int main() {
    int arr[] = {12, 11, 13, 5, 6, 7};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    printf("Unsorted array: 
");
    printArray(arr, n);

    heapSort(arr, n);

    printf("Sorted array: 
");
    printArray(arr, n);
    return 0;
}

3.Top K问题

（1）定义与背景
  • 定义：给定一个数据集，要求找出其中前K个最大（或小）的元素。
  • 背景：该问题在多个领域有广泛应用，如搜索引擎优化、电商推荐系统、异常检测等。在这些场景中，通常需要快速地从大量数据中提取出最重要的信息。
（2）应用场景
  1. 搜索引擎：根据用户输入的关键词，返回最相关的Top K个网页链接。这些链接通常是根据页面的相关性、权威性、用户点击率等因素综合评定的。
  2. 电商推荐：为用户提供前K个最热门或最符合其偏好的商品推荐。这有助于提升用户体验和销售转化率。
  3. 排行榜：在体育比赛、学术排名、企业榜单等领域，使用Top K来列出表现最佳的前几名。
  4. 异常检测：在金融风控、网络安全等领域，通过分析数据中的Top K异常值，及时发现潜在的风险和威胁。
  5. 科学研究：在生物信息学、物理学等领域，通过分析Top K的数据，可以发现关键的科学问题或现象。
  6. 社会媒体分析：分析社交媒体上的热门话题、影响力人物等，为公关策略和市场营销提供依据。
  7. 教育评估：在学校和教育机构中，通过分析学生的成绩分布，识别出表现优异的学生或需要额外关注的学生群体。
（3）实现方法
  1. 排序法 ：对整个数据集进行排序，然后选取前K个元素。这种方法简单直观，但当数据集非常大时，排序过程可能会非常耗时，时间复杂度为O(nlogn)。
  2. 堆排序 ：使用最小堆（Min-Heap）或最大堆（Max-Heap）来维护当前的前K大（或小）元素。当遍历到新的元素时，如果它大于（或小于）堆顶元素，则替换堆顶并调整堆。最终，堆中的元素即为所求的前K大（或小）元素。这种方法的时间复杂度为O(nlogk)，适合处理大规模数据。
    • 初始化一个大小为K的堆。
    • 如果堆的大小小于K，直接插入新元素。
    • 如果堆的大小等于K，且当前元素大于（对于找前K大）或小于（对于找前K小）堆顶元素，则替换堆顶并调整堆。
    • 遍历完成后，堆中的元素即为所求。
  3. 快速选择（QuickSelect）：这是一种基于快速排序的选择算法，可以在平均O(n)时间内找到第K大的元素，进而得到Top K。不过，其最坏情况下的时间复杂度仍为O(n^2)。
  4. 计数排序和桶排序：对于特定范围的数据，可以使用这两种排序方法来高效地找到Top K。它们通过将数据分配到不同的桶或计数数组中，然后统计每个桶或数组中的元素数量来找到Top K。
  5. 近似算法：在一些对精度要求不高的场景下，可以使用近似算法来快速得到Top K。例如，Min-Hash算法可以用于频繁项集挖掘。
（4）算法优化与挑战
  • 优化：在实际应用中，可以通过多种方式来优化Top K算法的性能。例如，利用并行计算能力加速数据处理；使用高效的内存管理机制减少内存消耗；结合数据的特性选择合适的算法和数据结构等。
  • 挑战：在处理大数据时，Top K算法面临的主要挑战包括计算效率和存储空间。随着数据量的增加，传统的排序方法会变得非常低效，而且可能需要大量的内存来存储中间结果。因此，需要采用更加高效的算法和数据结构来解决这些问题。

综上所述，Top K问题是一个具有广泛应用背景和重要价值的问题。通过理解和掌握其相关知识，可以更好地分析和理解数据，提高决策效率和质量。

代码实现：

c 复制代码 
#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
//TOP-k问题
//想要找出N个数据中最大（小）的K个：最简单的思路就是排序，但排序在数据量很大的时候效率低下且有可能无法全部加载进内存。最好的办法就是用堆的办法。
//用堆也有两种思路：（1）把N个数据全部建大（小）堆，然后再top后popK次-----不足：数据只能全部在内存上，在数据量很大时数据可能无法全部加载进内存；
//（2）把前K个数据建小（大）堆，然后再使剩余的N-K个数据依次与堆顶进行比较，比它大就取代，再向下调整。到最后剩下的数据就是最大（小）的K个。
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>

//对调数据
void Swap(int* ptr1, int* ptr2) {
	int temp = *ptr1;
	*ptr1 = *ptr2;
	*ptr2 = temp;
}

//向上调整（使用条件：除了child对应的数据，其他的构成堆）
void AdjustUp(int* a, int child) {
	assert(a);
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0) {
		if (a[child] > a[parent]) {
			Swap(&a[child], &a[parent]);
		}
		else {
			break;
		}
		child = parent;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}

//向下调整（使用条件：左右子树都是大堆或小堆）
void AdjustDown(int* a, int size, int parent) {
	assert(a);
	int bigchild = parent * 2 + 1;				//先假设大孩子是左孩子
	while (bigchild < size) {
		//先找到真正数值大(小)的孩子的下标
		if (bigchild + 1 < size && a[bigchild] > a[bigchild + 1])			//小堆后面的'<'改成'>'
		{
			++bigchild;
		}
		if (a[bigchild] < a[parent]) {										//小堆'>'改成'<'
			Swap(&a[bigchild], &a[parent]);
			parent = bigchild;
			bigchild = parent * 2 + 1;				//还是先假设大孩子是左孩子
		}
		else {
			break;
		}
	}
}

//造数据
void Cratedata(int n) {
	srand(time(0));				//生成随机数
	FILE* fin = fopen("data.txt", "w");
	if (NULL == fin) {
		perror("fopen error");
		return;
	}
	while (n--) {
		int data = rand() % 10000;
		fprintf(fin,"%d\n", data);
	}
	fclose(fin);
}

//Top-K（第二种解决办法）
void Top_k(int n, int k) {

	//1.读取前K个数据并建堆
	//打开文件
	FILE* fout = fopen("data.txt", "r");
	if (NULL == fout){
		perror("fopen error");
		return;
	}
	//申请空间存储读取的K个数据
	int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	assert(a);
	for (int i = 0; i < k; i++) {
		fscanf(fout, "%d", &a[i]);
	}
	//把这K个数据进行建堆----找最大，建小堆(向下调整)----可以防止数据的进入堆不受阻
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i > 0; --i) {
		AdjustDown(a, k, i);
	}

	//2.然后再使剩余的N-K个数据依次与堆顶进行比较，比它大就取代，再向下调整。到最后剩下的数据就是最大（小）的K个。
	int data = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &data) != EOF) {
		if (data > a[0]) {
			a[0] = data;
			AdjustDown(a, k, 0);
		}
	}
	fclose(fout);

	for (int i = 0; i < 10; i++) {
		printf("%d ", a[i]);
	}
}

void Test() {
	//Cratedata(100);
	Top_k(100, 10);
}

int main() {
	Test();
	return 0;
}

六、总结

  • 堆是一种非常重要的数据结构，它在计算机科学中有着广泛的应用。通过理解堆的基本概念、存储表示和基本操作，我们可以更好地掌握堆的使用方法和应用场景。同时，堆排序作为一种高效的比较排序算法，也值得我们深入学习和掌握。希望本文能够帮助大家更好地理解C语言中的数据结构------堆。

快乐的时光总是短暂，咱们下篇博文再见啦！！！在下一篇博文，小编将会带着宝子们学习如何使用动态顺序表写一个通讯录，敬请期待吧！！！不要忘了，给小编点点赞和收藏支持一下，在此非常感谢！！！

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