高斯
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，（德语：Johann Carl Friedrich Gauß，英语：Gauss，拉丁语：Carolus Fridericus Gauss）1777年4月30日--1855年2月23日，德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家、大地测量学家， 毕业于Carolinum学院（现布伦瑞克工业大学），后进入哥廷根大学深造 。
高斯被认为是世界上最重要的数学家，享有"数学王子"的美誉。高斯分布、高斯曲率、高斯测度、高斯散度定理、高斯-博内定理等等都是根据他的命名的。高斯是一位著名的数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家，在数学方面的成就尤为突出。他是德国人，全名约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，人们尊称他为"数学王子"。
高斯处事井井有条，即使对一些文件做摘录，也总是十分整洁，有条不紊。他有许多小笔记本，一行一行工整地记着临时想到的事。他记下从哥廷根天文台到各个地方的步行步数。他记下各年发生雷电的日期和次数。他记下汉诺威铁路每月的收入。他记下自己的孩子们的出生日期、接种牛痘的日子、长出前8颗牙齿的日子、开始走路的日子并注明当时孩子多大(按天计算)。可见，高斯在生活、工作中是多么严肃认真、一丝不苟。
高斯函数
高斯函数（Gaussian function）是以高斯的名字命名的函数，广泛用于自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域。高斯函数的形式为：
f ( x ) = a e − − ( x − b ) 2 2 c 2 f(x)=a\mathrm{e}^{-\frac{-(x-b)^2}{2c^2}} f(x)=ae−2c2−(x−b)2
其中， a a a、 b b b与 c c c都是实数，且 a > 0 a>0 a>0。
当 a = 1 , b = 1 , c = 1 a=1,b=1,c=1 a=1,b=1,c=1时曲线如下：
图1 高斯函数
当 a = 1 , b = 2 , c = 3 a=1,b=2,c=3 a=1,b=2,c=3时曲线如下：
图2 高斯函数
可以看到 a a a表示曲线的高度， b b b决定了峰值的位置，也就是对称轴的位置， c c c决定了曲线的胖瘦，当 c c c越大的时候，曲线越胖。
归一化高斯函数
对高斯函数进行积分，有
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞+∞e−x2dx=π
同理可得：
∫ − ∞ + ∞ a e − − ( x − b ) 2 c 2 d x = a c 2 π \int_{-\infty}^{+\infty}a\mathrm{e}^{-\frac{-(x-b)}{2c^2}}dx=ac\sqrt{2\pi} ∫−∞+∞ae−2c2−(x−b)dx=ac2π
因此，当且仅当 a = 1 c 2 π a=\frac{1}{c\sqrt{2\pi}} a=c2π 1的时候，高斯函数的积分为1，在这种情况下，它是正态分布随机变量的概率密度函数，期望值 μ = b \mu=b μ=b，方差 σ 2 = c 2 \sigma^2=c^2 σ2=c2，此时
g ( x ) = 1 σ 2 π e − − ( x − μ ) 2 σ 2 g(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{-(x-\mu)}{2{\sigma}^2}} g(x)=σ2π 1e−2σ2−(x−μ)
不同方差的标准正态分布曲线为
图3 不同方差的正态分布
matlab函数
编写的函数入下
function [y] = Gaussian(x,mu,sigma)
y = 1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-mu).^2/(2*sigma^2));
end
绘制过程入下：
% 画高斯函数图像
x = -10:0.1:10
y0 = Gaussian(x,0,0.2);
y1 = Gaussian(x,0,0.4);
y2 = Gaussian(x,0,0.8);
y3 = Gaussian(x,0,1);
plot(x,y0,'r');
hold on;
plot(x,y1,'b');
hold on;
plot(x,y2,'c');
hold on;
plot(x,y3,'g');
legend('sigma=0.2','sigma=0.4','sigma=0.8','sigma=1');
当然也可以使用matlab内置的函数绘制标准正态分布：
y = normpdf(x,mu,sigma) 返回具有均值 mu 和标准差 sigma 的正态分布的 pdf，在 x 中的值处计算函数值。
代码入下：
x = -10:0.1:10;
mu = 1;
sigma = 2;
y = normpdf(x,mu,sigma);
figure;
plot(x,y);