【蓝桥杯】43689.包子凑数

题目描述

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有 𝑁 种蒸笼，其中第 𝑖 种蒸笼恰好能放 𝐴𝑖 个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 𝑋 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 𝑋 个包子。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入描述

第一行包含一个整数 𝑁 (1≤𝑁≤100)。

以下 N 行每行包含一个整数 𝐴𝑖 (1≤𝐴𝑖≤100)。

输出描述

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。

输入输出样例

示例 1

输入

2

4

5
输出

6

样例说明

凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。

示例 2

输入

2

4

6
输出

INF

样例说明

所有奇数都凑不出来，所以有无限多个

题目分析

蓝桥杯官网上的讲解视频看得我头晕，还要这个定理，那个定理的，我们来尝试使用比较简单的方法来解决这个问题。

案例1：在案例1中 N = 2, 代表有两种笼子，A₁ = 4，A₂ = 5，问有多少个数是凑不出来的。

我们假设未知数为C，笼子的数量设为 X₁ 和 X₂ ，那么就有等式 C = A₁ × X₁ + A₂ × X₂ 。

其中 0 <= X₁ < ∞ ，0 <= X₂ < ∞ ，上面的那个等式不成立的次数，即为凑不出的个数。

观察一下当C 从 1 到 20 的情况，X₁ 和 X₂ 最小从0开始取值：

1 = 4 × ？+ 5 × ？等式不成立；

2 = 4 × ？+ 5 × ？等式不成立；

3 = 4 × ？+ 5 × ？等式不成立；

4 = 4 × 1 + 5 × 0 等式成立；

5 = 4 × 0 + 5 × 1 等式成立；

6 = 4 × ？+ 5 × ？等式不成立；

7 = 4 × ？+ 5 × ？等式不成立；

8 = 4 × 2 + 5 × 0 等式成立；

9 = 4 × 1 + 5 × 1 等式成立；

10 = 4 × 0 + 5 × 2 等式成立；

11 = 4 × ？ + 5 × ？等式不成立；

12 = 4 × 3 + 5 × 0 等式成立；

13 = 4 × 2 + 5 × 1 等式成立；

14 = 4 × 1 + 5 × 2 等式成立；

15 = 4 × 0 + 5 × 3 等式成立；

16 = 4 × 4 + 5 × 0 等式成立；

17 = 4 × 3 + 5 × 1 等式成立；

18 = 4 × 2 + 5 × 2 等式成立；

19 = 4 × 1 + 5 × 3 等式成立；

20 = 4 × 5 + 5 × 0 等式成立；

案例2：在案例2中 N = 2, 代表有两种笼子，A₁ = 4，A₂ = 6，问有多少个数是凑不出来的。

1 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

2 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

3 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

4 = 4 × 1 + 6 × 0 等式成立；

5 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

6 = 4 × 0+ 6 × 1 等式成立；

7 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

8 = 4 × 2 + 6 × 0 等式成立；

9 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

10 = 4 × 1 + 6 × 1 等式成立；

11 = 4 × ？ + 6 × ？等式不成立；

12 = 4 × 3 + 6 × 0 等式成立；

13 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

14 = 4 × 2+ 6 × 1 等式成立；

15 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

16 = 4 × 4 + 6 × 0 等式成立；

17 = 4 × ？+ 6 × ？等式不成立；

聪明的你应该看出一些规律了。

1, 如果A₁ 和 A₂ ... A_n 有最大公约数，且最大公约数不为1，则题目有无数解，记作INF。

比如案例2中，4和6有最大公约数2，则所有的奇数都无法组合出来；

2，如果A₁ 和 A₂ ... A_n 互质，就是说A₁ 和 A₂ ... A_n 的公约数为1，则题目有解。

3，当有解的情况下（即为A₁ 和 A₂ 互质），可以通过动态规划的方法来求解。定义一个布尔数组 d p dp dp ，用于记录能否凑出对应数量的包子，初始状态下 d p $0$ = t r u e dp $0$ = true dp $0$ =true，表示可以凑出 0 个包子。

然后遍历每一种蒸笼的容量 A i A~i~ A i ，对于大于等于 A i A~i~ A i 的每个数量 j j j , 若 d p $j − a \[ i$ ] dp $j - a\[i$ ] dp $j−a\[i$ ] 为 t r u e true true ，则 d p $j$ = t r u e dp $j$ = true dp $j$ =true 。即意味着能通过个 j − A i j - A~i~ j−A i 包子再加上一笼 A i A~i~ A i 的包子，可以凑出 j j j 个包子。

最后，统计数组 d p dp dp 中值为 f a l s e false false 的元素个数，该个数就是无法凑出的包子数量。

解题步骤

输入处理：读取输入的蒸笼种类数n和每种蒸笼的容量a $i$ 。
最大公约数计算：使用辗转相除法计算所有蒸笼容量的最大公约数gcd。如果gcd不为 1，输出INF并结束程序。
动态规划初始化：定义布尔数组dp并初始化为false，dp $0$ = true。
动态规划更新：遍历每种蒸笼容量a $i$ ，对j从a $i$ 到10000进行更新，若dp $j - a\[i$ ]为true，则dp $j$ =
true。
结果统计：统计dp数组中值为false的个数并输出。

代码实现

python 复制代码

def gcd(a, b):
    while b!= 0:
        a, b = b, a % b
    return a

n = int(input())
a = [int(input()) for _ in range(n)]

# 计算所有数的最大公约数
g = a[0]
for i in range(1, n):
    g = gcd(g, a[i])

if g!= 1:
    print("INF")
else:
    dp = [False] * 10001
    dp[0] = True
    for i in a:
        for j in range(i, 10001):
            dp[j] = dp[j] or dp[j - i]
    print(sum([1 for i in range(10001) if not dp[i]]))