"mysql中常用的数据库搜索引擎InnoDB,其索引通过B+Tree的方式进行构建。"
实在想不起来B+Tree是怎么一回事了。以点带线，将涉及到的数据结构一起复习一下。
文章目录
数据结构定义
| 数据结构 | 定义 |
|---|---|
| 二叉树 | 每个节点最多有两个子树 |
| 二叉排序树 | 又叫二叉搜索树。在二叉树的基础上，递归定义 任意子树根节点大于其左子树最大值小于右子树最小值. 左<根<右 |
| 平衡二叉树 | 在二叉排序树的基础上， 递归定义 任意节点 左右子树的高度差≤1. |
| 红黑树 | 在二叉排序树的基础上，递归定义 见下方 |
| BTree | B-Tree 同一个东西。见下方 |
| B+Tree | 见下方 |
如果插入的是有序序列， 二叉排序树的效率降低为O(n). 所以推出 平衡二叉树
红黑树
定义
- 左中右： 前提是一棵二叉搜索树（左<中<右）
- 根、叶黑： 根节点和叶子结点都是黑色
- 不红红： 不存在两个红色节点有直接父子关系
- 黑路同： 任意节点到所有叶子节点经过的黑色节点数相同
使命
红黑树并不是在平衡二叉树的基础上定义的。
由于平衡二叉树左右子树高度差≤1，要求过于严格。虽然查询效率较高，但插入、删除时，调整频繁， 因此引入红黑树。
由于不红红和黑路同的性质可以推断出:红黑树左右子树最长路径节点数不超过最短路径的2倍。
相对于平衡二叉树，插入、删除效率有所提升。
BTree
BTree 就是多路查找树（一个节点内可以有多个元素），每个元素都有左右子树。 2阶BTree， 退化成平衡二叉树
定义
-
有序 1. 结点元素内有序 2. 元素的左子树都小于它,右子树都大于它
-
平衡 所有的叶结点都在同一层
-
节点限制 m阶BTree
根节点至少有1个元素，2个分支
其他节点 至少有(m+1)/2个分支， (m-1)/2个元素（左右间隙肯定要比元素数多1）
所有节点元素数<m, 分支数≤m。 所有叶子节点在同一层上
使命
数据是存储在磁盘上，每次将节点读入内存，就需要一次IO操作，IO操作是比较耗时。树的高度，限制了数据的查找效率。
一次IO读取连续地址的多个字节和读取一个字节几乎没有什么差别。
通过增加节点元素数，降低树的高度 就成为了必然的选择。
一个节点可以有多个元素 每个元素左右间隙指向后续节点。将左右间隙视为左右子树。
B+Tree
定义
从BTree基础上发展而来，
- 非叶子结点直接存储索引，>左子树最大值，<=右子树最小值
- 叶结点包含全部关键字及指向相应记录的指针，非叶结点只作索引
- 所有节点元素数<m(也有地方说是<=m), 分支数≤m
- 每一个叶子节点都有指向后续叶子节点的指针
InnoDB B+Tree
对经典B+Tree进行改造，除了记录叶子节点的头部位置，后续叶子节点外， 记录了前驱节点。提升了中序遍历和范围查找效率。
旋转与调整
二叉树就是为了阐述的需要，没有实际应用的意义，不存在调整的问题。
二叉排序树
插入
与当前节点比较， 小于当前节点在左子树进行比较 大于当前节点在右子树进行比较。
最后插入到叶子节点上。
Insert 4 2 3 1
删除
通过比较查找定位到待删除的节点
叶子节点,直接删除
只有左子树或只有右子树 删除后，让子树占据其位置
左右子树都有 需要进行转化 让其中序遍历前驱节点或后继结点占据其位置，转化为删除中序遍历前驱节点或后继结点。转化为前两种情况。
演示一下删除节点50的过程
- 节点50左右子树都有，使用中序遍历定位后继节点。将节点65放到节点50的位置
- 待删除的节点只有右子树， 将右子树直接挂上
平衡二叉树
插入
通过递归进行节点比较，插入到叶子节点。 然后判定是否出现左右子树高度差>1的情况。
没有出现， 插入结束。否则根据下面四种情况进行调整
| 类型 | 调整方式 |
|---|---|
| LL | 爷爷节点顺时针旋转（右旋） |
| RR | 爷爷节点逆时针旋转（左旋） |
| LR | 父节点逆时针旋转,爷爷节点顺时针旋转（右旋） |
| RL | 父节点顺时针旋转,爷爷节点逆时针旋转（左旋） |
所有的旋转都是绕着直接子孩子进行的旋转。 调整之后， 高度-1. 调整完成。
删除
分为两个过程
- 删除 删除方法与二叉搜索树相同
- 调整 找到层级最低（靠近叶子节点）失衡的节点C，然后确定类型和调整方式
找到C层级更深的子树A.
找到A层级更深的子树B.
AB对应上面的LL、RR、LR、RL四种情况，然后进行调整。
这里面有一种特殊情况： B不存在（A的左右子树深度一致）
如果是L型(A是左子树)，进行顺时针旋转.如果是R型，进行逆时针旋转。
红黑树
插入
红黑树的插入容易违反：根叶黑和不红红的特性。
新插入的节点定义为红色
分下面几种情况进行讨论：
1. 新插入节点是根节点： 直接变黑 调整完成
2. 新插入节点的父节点是黑节点： 不需要调整
3. 新插入节点的父节点是红节点： 违反不红红的特点，
参照下面的方法进行调整。
2.插入的是红色节点， 父亲是红色节点
如果叔叔是黑色，违反黑路同；
如果叔叔为红色，不能有子节点（红色违反不红红，黑色违反黑路同）
| 叔叔节点 | 调整方式 |
|---|---|
| R | 叔叔节点R->B, 父亲节点R->B,爷爷节点B->R, 从爷爷开始继续调整（不违反根叶黑、不红红就完成） |
| 不存在（或者为黑色节点） | 插入节点、父节点、爷爷节点 根据LL\RR\LR\RL进行旋转调整 |
变换后，设置新根节点(三个节点中)为黑色，其他2个节点为红色.
来一个插入演示。
Insert 34、23、15、10、13、14、35、36.
删除
红黑树删除容易破坏黑路同的性质。
通过节点比较 定位到要删除的节点
与二叉搜索树一样：如果左右子树都有 转化为中序遍历直接前驱或者直接后继（将节点内容用直接前驱或直接后继的值进行代替）， 转化为对叶子节点或者单子树的删除。
叶子节点可能为红或者黑；
单子树只可能为黑色节点下面挂一个红色节点。
待删除节点为红色叶子节点，直接删除
待删除节点有单子树，将红色节点挂到子树上，变成黑色。
待删除节点为黑色叶子节点较为复杂：
| 兄弟节点颜色 | 兄弟节点有红孩 | 调整方式 |
|---|---|---|
| B | 有 | 待删除节点变成双黑节点 根据其类型参照下面表格进行旋转变色。 |
| B | 无 | 兄弟变红， 双黑节点（可以理解为-1黑节点）上移到父节点 |
| R | 无 | 兄父变色， 然后父节点绕兄弟节点旋转 双黑节点继续调整 |
双黑节点碰到红色节点 Red->Black 调整结束。
双黑碰到根节点， 直接变成黑节点 调整结束。
双黑节点碰到兄弟节点是null，调整结束。
删除节点为黑色节点，兄弟节点为黑色节点，兄弟至少有一个红孩
表格中的孩子指的是：兄弟的孩子，父节点指的是：当前节点的父节点（当然也是兄弟父节点）
变色和旋转情况如下：
| 兄弟 | 兄弟左孩子 | 兄弟右孩子 | 类型 | 变色与旋转 |
|---|---|---|---|---|
| 左子树 | R | - | LL | 左孩子R->B, 兄弟节点变成父节点颜色， 父节点变黑。 然后进行旋转 |
| 右子树 | - | R | RR | 右孩子R->B, 兄弟节点变成父节点颜色， 父节点变黑。 然后进行旋转 |
| 左子树 | B（或者null） | R | LR | 右孩子变成父节点颜色， 父节点变黑。 然后进行旋转 |
| 右子树 | R | - | RL | 左孩子变成父节点颜色，父节点变黑。 然后进行旋转 |
删除顺序：
17 15 13 34 25 23 18 27 37 10 9 6
m阶BTree
插入
所有直接的插入都在叶子节点进行(从根节点定位到叶子节点)；
1. 只有一个元素作为根节点
2. 从根部进行比较， 跳转到叶子节点后， 进行插入。
如果节点元素数=m, 需要进行分裂。 m/2位置元素上移， 以该元素作为分界点，将一个节点拆分为两个节点。然后将比较节点（m/2位置元素）移动到父节点。 继续判断父节点是否发生上溢， 继续进行调整。
m = 3
插入序列：
27 14 18 36 70 3 17 20 23 34 45 53 58 84
删除
- 定位到要删除的元素，如果发生在非叶子节点： 将中序遍历直接前驱或直接后继进行替换。 修改为删除直接前驱或直接后继节点
删除后，节点元素数>= (m-1)/2,结束.
如果<(m-1)/2,寻找左兄弟节点或者右兄弟节点进行借元素。
寻找左兄弟借元素 ，左兄弟 最大值上位， 父节点里面的父元素移动到节点左侧。
寻找右兄弟借元素 ，右兄弟 最小值上位， 父节点里面的父元素移动到节点右侧。
如果左右兄弟都不够借， 就与左兄弟或右兄弟合并。 与左兄弟合并的时候， 父节点的父元素下移到左兄弟，然后当前节点所有元素合并到左兄弟节点右侧。 此时， 如果父节点发生向下溢出，对父节点继续调整， 否则，调整结束。
m=3 最小节点数 (3-1)/2 == 1 ，不存在向下溢出的情况了， 这里使用m=5.进行演示
84 36 90 58 70 53 34 27 45 21 20 23 17
m 阶B+Tree
B+Tree所有元素都保存在叶子节点
插入都发生在叶子节点，进行分裂时， 分裂点左侧断裂， 向上copy一份中间元素。
左侧指向的索引节点小于当前索引值，右侧>=当前索引值
叶子节点有指向中序遍历后续叶子节点的指针。
插入
m = 5.
插入序列：
27 14 18 36 70 3 17 20 23 34 45 53 58 84 90
删除
删除非索引节点时，直接删除。
发生向下溢出，左右可以借的话， 进行左右借位。借位后，索引修改为借到元素，并将该元素合并过去
如果不够借，进行作用合并，注意索引的调整。 以及可能发生的父节点向下溢出。
删除序列：
53 36 34 20 58 70 20 84 14 27 45 18
