P1044 [NOIP2003 普及组] 栈 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态
题目背景
栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。
栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。
栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。
宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,...,n（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 n。
现在可以进行两种操作，
- 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
- 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）
使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。
你的程序将对给定的 n，计算并输出由操作数序列 1, 2, ..., n 经过操作可能得到的输出序列的总数。
输入格式
输入文件只含一个整数 n（1 ≤ n ≤ 18）。
输出格式
输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。
输入输出样例
| 输入 #1 | 输出 #1 |
|---|---|
| 3 | 5 |
说明/提示
【题目来源】
NOIP 2003 普及组第三题
思路：
动态方程先写一下
if(i >= 1)//栈内有东西，可以出栈操作 和 进栈操作
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i+1][j-1];
if(i == 0)//进栈操作
dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
用dp既可以做出来，思路过程先说说。f[i][j],i作为栈内元素个数，j为队列元素个数。有些人可能会觉得，为什么啊？状态方程为什么可以这样列呢?所以我们需要进行模拟队列1 2 3的过程，发现一点规律，这里我就不多说了。最终可以发现这两个条件的确可以确定组成序列的方案数。注意：f[i][0]都设置为1作为边界，是因为序列已经形成了，在搜索写法表示返回1.总之就是找到这个方案了返回1.dp也一样.
代码如下：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
int dp[20][20];//i表示栈内个数，j表示队列个数 ,那么方案数就是f[0][n]
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0 ; i <= n ; i++)
dp[i][0] = 1;//因为队列为0说明序列已经形成了，可以返回1了。
for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
{
for(int i = 0 ; i <= n ; i++)
{
if(i >= 1)//栈内有东西，可以出栈操作 和 进栈操作
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i+1][j-1];
if(i == 0)//进栈操作
dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
}
}
cout << dp[0][n];
return 0;
}