题目描述
选取和不超过 S 的若干个不同的正整数，使得所有数的约数（不含它本身）之和最大。
输入格式
输入一个正整数 S。
输出格式
输出最大的约数之和。
输入输出样例
输入 #1复制
11输出 #1复制
9说明/提示
【样例说明】
取数字 4 和 6，可以得到最大值 (1+2)+(1+2+3)=9。
【数据规模】
对于 100% 的数据，1≤S≤1000。
思路：
题目的意思是选取诺干个数，这些数之和小于n，求出这些数的约数最大和。
我们预处理把每个数的约数写出来。然后就是背包问题了。
注意只有dp会满分
代码如下：
暴力：
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2001;
ll cnt[N];
ll num[N];
ll n;
int is_number(ll x)
{
int sum = 0;
for(ll i = 1 ; i < x ; i++)
{
if(x % i == 0)
sum += i;
}
return sum;
}
ll dfs(ll x,ll sp)
{
if(x > n-1)
return 0;
if(sp >= num[x])
return max(dfs(x+1,sp-num[x])+cnt[x],dfs(x+1,sp));
else
return dfs(x+1,sp);
}
int main()
{
cin >> n;
for(ll i = 1 ; i <= n-1 ; i++)
{
cnt[i] += is_number(i);//求出1~n-1的各个约数之和
// cout << i << "的约数之和:" << arr[i] << endl;
num[i] = i;
}
cout << dfs(1,n);
return 0;
}
记忆化搜索：
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2001;
ll cnt[N];
ll num[N];
ll n;
ll mem[N][N];
int is_number(ll x)
{
int sum = 0;
for(ll i = 1 ; i < x ; i++)
{
if(x % i == 0)
sum += i;
}
return sum;
}
ll dfs(ll x,ll sp)
{
ll sum = -1e9;
if(mem[x][sp])
return mem[x][sp];
if(sp <= 0)
return 0;
if(x > n-1)
return 0;
if(sp >= num[x])
sum = max(dfs(x+1,sp-num[x]) + cnt[x],dfs(x+1,sp));
else
sum = dfs(x+1,sp);
mem[x][sp] = sum;
return sum;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin >> n;
for(ll i = 1 ; i < n ; i++)
{
cnt[i] += is_number(i);//求出1~n-1的各个约数之和
// cout << i << "的约数之和:" << arr[i] << endl;
num[i] = i;
}
cout << dfs(1,n);
return 0;
}
dp：
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2001;
ll cnt[N];
ll num[N];
ll n;
ll f[N][N];
int is_number(ll x)
{
int sum = 0;
for(ll i = 1 ; i < x ; i++)
{
if(x % i == 0)
sum += i;
}
return sum;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin >> n;
for(ll i = 1 ; i < n ; i++)
{
cnt[i] += is_number(i);//求出1~n-1的各个约数之和
// cout << i << "的约数之和:" << arr[i] << endl;
num[i] = i;
}
for(ll i = n-1 ; i >= 1 ; i--)
{
for(ll j = 0 ; j <= n ; j++)
{
if(j >= num[i])
f[i][j] = max(f[i+1][j-num[i]] + cnt[i],f[i+1][j]);
else
f[i][j] = f[i+1][j];
}
}
cout << f[1][n];
return 0;
}
