洛谷网站: P3029 [USACO11NOV] Cow Lineup S 题解

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P3029 [USACO11NOV] Cow Lineup S - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

前言:

这道题的核心问题是在一条直线上分布着不同品种的牛,要找出一个连续区间,使得这个区间内包含所有不同品种的牛,并且这个区间的成本(即区间内牛的最大和最小 x 坐标之差)最小。整体来说是非常的简单易手。

#思路概括:

我们将采用滑动窗口算法来解决这个问题。滑动窗口算法是一种在数组或序列上通过维护两个指针(通常称为左指针和右指针)来动态调整窗口大小,从而解决各种子区间相关问题的有效方法。在本题中,我们会利用这个算法不断尝试不同的连续区间,找出满足条件的最小成本区间。

##实现具体步骤:

1、数据读取与品种的统计:

1.1、首先,我们读取输入的牛的数量 N。

1.2、接着,使用一个循环读取每头牛的 x 坐标 和品种 ID ,并将其存储在一个结果体数组当中。

1.3、同时,我们使用一个哈希表,来记录每个品种的出现情况。在遍历牛的信息时,将每个品种添加剂道哈希表当中,这样咱们就能统计出不同品种的总数。

2、排序操作:

我们为了方便实用华东窗口算法,我们需要按照牛的 x 坐标对所有牛进行排序。通过自定义比较函数,可以确保牛按照 x 坐标从小到大的排列。排序的时间复杂度是 ,这也是整个算法得主要时间开销之一。

3、滑动窗口初始化:

1.1、初始化两个指针 left 和 right 都指向这排序后数组的第一个元素,它们分别代表着滑动窗口的左右边界。

1.2、初始化cb为0,这用于记录当前窗口内不同品种的数量;初始化 m 为 INT_MAX,用于存储满足条件的最小成本。

4、滑动窗口操作:

1.1、扩大窗口:

不多移动 right 指针,将新的牛加入道窗口当中。

检查新加入的牛的品种在当前窗口内的数量,如果该品种之前在窗口内的数量为0,说明这是一个新的品种,将 cb 加上1。

同时更新该品种在窗口内的数量。

5、缩小窗口:

当 right 指针遍历完所有牛后,m 中存储的就是满足条件的最小成本,将其输出即可。

###复杂度分析:

1、时间复杂度:

排序操作的时间复杂度为 O(n log n),滑动遍历数组的时间复杂度为 O(n),因此总的时间复杂度是 O(n log n)。

2、空间复杂度:

主要的空间开销在于存储牛的信息和哈希表,哈希值最多存储 k 个不同的品种,因此空间复杂度为 O(k)。

####代码:

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct c {
    int x;
    int r;
    c(int x, int r) : x(x), r(r) {}
};
// 自定义比较函数,按照 x 坐标对牛进行排序
bool C(const c& a, const c& b) {
    return a.x < b.x;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<c> o;
    unordered_map<int, int> bc;
    // 读取输入并存储牛的信息
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int x, r;
        cin >> x >> r;
        o.emplace_back(x, r);
        bc[r] = 0;
    }
    // 统计不同品种的数量
    int u = bc.size();
    // 按照 x 坐标对牛进行排序
    sort(o.begin(), o.end(), C);
    int l = 0, r = 0;
    int cb = 0;
    int m = INT_MAX;
    // 滑动窗口
    while (r < n) {
        // 扩大窗口
        if (bc[o[r].r] == 0) {
            ++cb;
        }
        ++bc[o[r].r];
        // 当窗口内包含了所有不同品种的牛时,尝试缩小窗口
        while (cb == u) {
            m = min(m, o[r].x - o[l].x);
            --bc[o[l].r];
            if (bc[o[l].r] == 0) {
                --cb;
            }
            ++l;
        }
        ++r;
    }
    
    
    
    cout << m << endl;

    return 0;
}
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