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前置知识
完全背包问题是动态规划中的一种经典问题，它与0-1背包问题相似，但有一个关键的区别：在完全背包问题中，每种物品都有无限的数量可用 。也就是说，你可以选择同一种物品多次放入背包，以使背包中的总价值最大。
示例分析
假设物品重量为 (w = 2, 3)，价值为 (v = 3, 4)，容量 (C = 5)：
| 容量 (j) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 初始化 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 物品1（w=2） | 0 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 |
| 物品2（w=3） | 0 | 0 | 3 | 4 | 6 | 7 |
最优解：选取 1 个物品1（重量2，价值3）和 1 个物品2（重量3，价值4），总价值为7。
进入正题
状态定义
设 dp[i][j] 表示前 (i) 种物品，背包容量为 j 时的最大总价值。
状态转移方程的推导
核心思想：
对第 (i) 种物品，可以选择 0 次或多次 ，因此需要枚举所有可能的选取次数。
暴力枚举
对每种物品 (i) 和容量 (j)，假设选取 (k) 次物品 (i)，则转移方程为：
缺点 ：时间复杂度为 (O(n * C * kmax)，其中 kmax= C/ w i w_i wi ，效率极低。
优化推导（消除对 k 的显式枚举）
观察到以下递推关系：
数学证明：
假设在容量 (j) 时，最优解中包含 (m \geq 1) 个物品 (i)，则总价值为：
dp[i][j] = dp i i i j j j - w i w_i wi + v i v_i vi
这是因为在 ( j j j - w i w_i wi) 容量时，已经考虑了选取 (m-1) 个物品 (i) 的最优解。
因此，状态转移方程简化为：
dp[i][j] = max ( dp[i-1][j], dp i i i j j j - w i w_i wi + v i v_i vi )
模板
完全背包问题 https://www.acwing.com/problem/content/3/
有 N N N 种物品和一个容量是 V V V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i i i 种物品的体积是 v i v_i vi，价值是 w i w_i wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数， N ， V N，V N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来 N N N 行，每行两个整数 v i , w i v_i, w_i vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i i i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0 < N , V ≤ 1000 0 \lt N, V \le 1000 0<N,V≤1000
0 < v i , w i ≤ 1000 0 \lt v_i, w_i \le 1000 0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5输出样例：
10code：
python
n, v = map(int, input().split())
dp = [[0] * (v + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
wi, vi = map(int, input().split())
for j in range(1, v + 1):
if j - wi >= 0:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - wi] + vi)
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
print(dp[n][v])滚动数组优化：
python
n, v = map(int, input().split())
dp = [0] * (v + 1)
for i in range(1, n + 1):
wi, vi = map(int, input().split())
for j in range(wi, v + 1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - wi] + vi)
print(dp[v])END
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