进阶数据结构——链式前向星

曙曙学编程2025-02-11 11:40

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前言

链式前向星是一种进阶的数据结构，主要用于图的存储。

我希望大家先看这个视频（蓝色字体点进去） 不然你很难理解的。

一、背景与定义

在图论中，图的存储方式主要有邻接矩阵和邻接表两种。邻接矩阵虽然建图简单方便，但占内存较大，节点数量稍微大点的题目就难以使用（适合稠密图）；而邻接表虽然节省空间，但其指针形式难写易错，且vector形式的读取速度较慢，易导致大数据下的超时（TLE）。针对上述问题，链式前向星作为一种折中的方式应运而生。

链式前向星本质上是一种静态链表，它将数据以链表形式连接在一起。具体来说，链式前向星存储的是以每个点为起点的所有边。

二、实现思路

头节点数组 ：建立head[maxn]数组，其中head[id]表示以id节点为起点的第一条边的编号，即查询以该节点为起点的所有边的开始边（链表头部）。head数组一般初始化为-1，表示无边可连。
边结构体：定义一个结构体Node来存储每条边的信息，包括终点to、连在同一起点上的下一条边的编号next以及边权值v（或flag，根据具体需求而定）。

cpp 复制代码 
struct Node {
    int to, next, v; // 或 int to, next, flag;
};

加边函数：通过加边函数将边添加到链表中。每次添加边时，都会更新head数组和Node结构体中的next指针。

cpp 复制代码 
void AddEdge(int a, int b, int c) {
    node[tot].next = head[a];
    node[tot].to = b;
    node[tot].v = c; // 或 node[tot].flag = c;
    head[a] = tot++;
}

三、特点与优势

节省空间 ：与邻接矩阵相比，链式前向星只存储存在的边，因此更加节省空间。
快速访问 ：通过头节点数组可以快速访问以某个点为起点的所有边。
避免排序：与需要排序的前向星相比，链式前向星可以避免排序操作，从而节省时间。

四、遍历与应用

在遍历以某个点为起点的所有边时，可以使用以下代码：

cpp 复制代码 
for (int i = head[u]; ~i; i = node[i].next) {
    // 访问以u为起点的边node[i]
}

链式前向星在图论算法中有广泛应用，如最短路算法、拓扑排序、强连通分量等。特别是在处理大规模稀疏图时，链式前向星能够显著提高算法的效率。

五、注意事项

初始化：在使用链式前向星之前，需要正确初始化头节点数组和边结构体数组。

边编号：在添加边时，需要确保每条边都有一个唯一的编号（通常通过全局变量tot来管理）。

遍历顺序：由于链式前向星是逆序存储边的（即后添加的边先被遍历），因此需要注意遍历顺序是否符合题目要求。如果需要按输入顺序遍历边，可以考虑使用其他数据结构或算法来实现。

六、代码模版（c++）

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

template<typename T>
struct Edge {
	int to;
	T weight;
	int next;
};

template<class T>
class Graph {
private:
	vector<Edge<T>>m_edges;
	vector<int>m_head;
public:
	Graph(int n);
	void addEdges(int from, int to, T weight);
	void printEdges();
};

template<class T>
Graph<T>::Graph(int n){
	m_edges.clear();
	m_head.resize(n, -1);
}

template<class T>
void Graph<T>::addEdges(int from, int to, T weight){
	m_edges.push_back(Edge<T>{to, weight, m_head[from]});
	m_head[from] = (int)m_edges.size() - 1;
}

template<class T>
void Graph<T>::printEdges(){
	int n = m_head.size();
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << i << ":";
		for (int e = m_head[i]; e != -1; e = m_edges[e].next) {
			int v = m_edges[e].to;
			T w = m_edges[e].weight;
			cout << "(" << v << "," << w << ")";
		}
		cout << endl;
	}
}

int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	Graph<int>g(n);
	while (m--) {
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		g.addEdges(u, v, w);
	}
	g.printEdges();
	return 0;
}

七、经典例题

1.金苹果群岛的建设

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

template<typename T>
struct Edge {
	int to;
	T weight;
	int next;
};

template<class T>
class Graph {
private:
	vector<int>m_head;
	vector<Edge<T>>m_edges;
	
	int m_count;			//代表连通分量的个数
	vector<int>m_colors;	//代表该点是否与其他点连通，染色法

	void dfs(int u);		//代表与u这个点直接间接连通的点染色
public:
	Graph(int n);
	void addEdges(int from, int to, T weight);
	void printEdges();
	int countConnectedBlock();		//统计连通分量的的个数
};

template<class T>
Graph<T>::Graph(int n) {
	m_edges.clear();
	m_head.resize(n, -1);
}

template<class T>
void Graph<T>::addEdges(int from, int to, T weight) {
	m_edges.push_back(Edge<T>{to, weight, m_head[from]});
	m_head[from] = m_edges.size() - 1;
}

template<class T>
void Graph<T>::printEdges() {
	for (int i = 0; i < m_head.size(); i++) {
		cout << i << ":";
		for (int e = m_head[i]; e != -1; e = m_edges[e].next) {
			cout << "(" << m_edges[e].to << "," << m_edges[e].weight << ")";
		}
		cout << endl;
	}
}

template<class T>
int Graph<T>::countConnectedBlock() {
	int n = m_head.size();
	m_count = 0;
	m_colors.resize(n, -1);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (m_colors[i] == -1) {
			dfs(i);
			m_count++;
		}
	}
	return m_count;
}

template<class T>
void Graph<T>::dfs(int u) {
	if (m_colors[u] != -1)return;
	m_colors[u] = m_count;
	for (int e = m_head[u]; e != -1; e = m_edges[e].next) {
		dfs(m_edges[e].to);
	}
}




int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	Graph<int> g(n);
	while (m--) {
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		u--, v--;
		g.addEdges(u, v, 0);
		g.addEdges(v, u, 0);
	}
	cout << g.countConnectedBlock() - 1 << endl;	//这里要好好理解，假定n个连通分量代表一个定点若要将n个点
													//连通就是加上n-1条边
	return 0;
}

2.图的遍历（简单版）

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

template<typename T>
struct Edge {
	int to;
	T weight;
	int next;
};

template<class T>
class Graph {
private:
	vector<int>m_head;
	vector<Edge<T>>m_edges;
	
	vector<bool> m_visited;		//用来判断定点是否被访问
	void dfs(int u, int& ans);
public:
	Graph(int n);
	void addEdges(int from, int to, T weight);
	void printEdges();
	int calculateColor(int u);
};

template<class T>
Graph<T>::Graph(int n) {
	m_edges.clear();
	m_head.resize(n, -1);
}

template<class T>
void Graph<T>::addEdges(int from, int to, T weight) {
	m_edges.push_back(Edge<T>{to, weight, m_head[from]});
	m_head[from] = m_edges.size() - 1;
}

template<class T>
void Graph<T>::printEdges() {
	for (int i = 0; i < m_head.size(); i++) {
		cout << i << ":";
		for (int e = m_head[i]; e != -1; e = m_edges[e].next) {
			cout << "(" << m_edges[e].to << "," << m_edges[e].weight << ")";
		}
		cout << endl;
	}
}

template<class T>
int Graph<T>::calculateColor(int u) {
	int n = m_head.size();
	m_visited.resize(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		m_visited[i] = false;
	}
	int ans = u;
	dfs(u,ans);
	return ans;
}

template<class T>
void Graph<T>::dfs(int u,int& ans) {
	if (m_visited[u])return;
	m_visited[u] = true;
	if (u > ans)ans = u;
	for (int e = m_head[u]; e != -1; e = m_edges[e].next) {
		int v = m_edges[e].to;
		dfs(v, ans);
	}
}




int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	Graph<int> g(n);
	while (m--) {
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		u--, v--;
		g.addEdges(u, v, 0);
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << g.calculateColor(i) + 1 << " ";
	}
	cout << endl;
	
	return 0;
}

3.图的遍历

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

template<typename T>
struct Edge {
	int to;
	T weight;
	int next;
};

template<class T>
class Graph {
private:
	vector<int>m_head;
	vector<Edge<T>>m_edges;
	
	vector<int> m_color;		//用来判断定点是否被访问
	void dfs(int u, int color);
public:
	Graph(int n);
	void addEdges(int from, int to, T weight);
	void printEdges();
	void calculateColor();
	int getColor(int u);
};

template<class T>
Graph<T>::Graph(int n) {
	m_edges.clear();
	m_head.resize(n, -1);
}

template<class T>
void Graph<T>::addEdges(int from, int to, T weight) {
	m_edges.push_back(Edge<T>{to, weight, m_head[from]});
	m_head[from] = m_edges.size() - 1;
}

template<class T>
void Graph<T>::printEdges() {
	for (int i = 0; i < m_head.size(); i++) {
		cout << i << ":";
		for (int e = m_head[i]; e != -1; e = m_edges[e].next) {
			cout << "(" << m_edges[e].to << "," << m_edges[e].weight << ")";
		}
		cout << endl;
	}
}

template<class T>
void Graph<T>::calculateColor() {
	int n = m_head.size();
	m_color.resize(n, -1);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {		//从序号大的定点开始染色，与大的顶点连通的点它们到达的最大点就是这个点
		dfs(i, i);
	}
}

template<class T>
int Graph<T>::getColor(int u) {
	return m_color[u];
}

template<class T>
void Graph<T>::dfs(int u,int color) {
	if (m_color[u] != -1)return;
	m_color[u] = color;
	for (int e = m_head[u]; e != -1; e = m_edges[e].next) {
		int v = m_edges[e].to;
		dfs(v, color);		//全都是连通最大定点的染色值
	}
}




int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	Graph<int> g(n);
	while (m--) {
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		u--, v--;
		g.addEdges(v, u, 0);	//这里是v到u构建一张返图，比如1->2->3,变成3->2->1
	}
	g.calculateColor();
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << g.getColor(i) + 1 << " ";
	}
	cout << endl;
	
	return 0;
}

八、总结

综上所述，链式前向星是一种高效、灵活的图存储方式，在图论算法中具有广泛的应用价值。

结语

还是那句话希望大家尽量能自己敲一遍代码，因为其中出现的错误你自己处理了，你才真正算是提升自己的代码能力。

希望大家可以一键三连，后续我们一起学习，谢谢大家！！！

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