P10570 [JRKSJ R8] 网球

记录73

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long gcd(long long a,long long b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main(){
	int T;
	long long a,b,c,t;
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>a>>b>>c;
		t=gcd(a,b);
		a/=t;
		b/=t;
		t=min(a,b);
		if(c%t==0) c/=t;
		else c=c/t+1;
		cout<<a*c+b*c<<endl;
	}
	return 0;
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P10570

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突破口

你有两个啮合在一起的齿轮，你希望齿轮 A 每转 a 圈齿轮 B 都能转恰好 b 圈。

由于精细度要求，每个齿轮都必须有不少于 c 个齿，求齿轮 A 和齿轮 B 的总齿数和的最小值。

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思路

两个啮合齿轮：

• 齿轮 A 转 a 圈 → 齿轮 B 转 b 圈
• 啮合齿轮的齿数与转速成反比：

A 的齿数：B 的齿数=b：a

B 的齿数：A 的齿数​=a：b​

即：

A_teeth:B_teeth=b:a

A_teeth:B_teeth=b:a

✅ 所以设：

• A 齿数 = k * b
• B 齿数 = k * a
  其中 k 是正整数（比例缩放因子）

约束：每个齿轮 至少 c 个齿

→ k * b ≥ c 且 k * a ≥ c

目标：最小化总齿数 = k(a + b) *

→ 即找最小的正整数 k，使得：

k≥⌈c/a⌉且k≥⌈c/b⌉

→ 所以：

k=max⁡(⌈c/a⌉,⌈c/b⌉)

但注意！这里 a 和 b 是原始输入值，我们需要先约分！

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🔑 关键：必须用最简比例！

因为如果 a 和 b 有公因数，直接用会导致 k 不是最小。

例如：a=4, b=8

• 原始比例：A:B = 8:4 = 2:1
• 最简比例：a'=1, b'=2（因为 gcd(4,8)=4）
• 所以 A 齿数 = k*2, B 齿数 = k*1
• 约束：2k ≥ c, k ≥ c → k ≥ max(ceil(c/2), ceil(c/1)) = c
• 若 c=5 → k=5 → A=10, B=5 → 总=15（符合样例）

所以第一步：将 a:b 化为最简整数比

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代码简析

long long gcd(long long a, long long b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

• 实现欧几里得算法，求最大公约数（GCD）

int main(){
    int T;
    long long a, b, c, t;
    cin >> T;

• 读入测试数据组数 T
• a, b, c：题目输入
• t：临时变量（用于存 gcd 或 min）

    while(T--){
        cin >> a >> b >> c;

• 读入每组数据

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🔥 第一步：约分比例

        t = gcd(a, b);
        a /= t;
        b /= t;

• 将 a : b 化为最简整数比
• 例如：a=4, b=8 → gcd=4 → a=1, b=2
• 此时，齿轮齿数比例为 B:A = a:b（注意方向！）

💡 回顾：A 转 a 圈 → B 转 b 圈

→ A 齿数 / B 齿数 = b / a

→ 所以 A 齿数 = k * b，B 齿数 = k * a

✅ 约分后，a 和 b 互质，此时 k 取最小值即可保证齿数最小。

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🔥 第二步：计算最小缩放因子 k

        t = min(a, b);

• 这里 t 被重用，表示 min(a, b)（约分后的）

❓ 为什么取 min(a, b)？

看约束：

• A 齿数 = k * b ≥ c → k ≥ ceil(c / b)
• B 齿数 = k * a ≥ c → k ≥ ceil(c / a)

所以 k = max( ceil(c/a), ceil(c/b) )

但代码却写：

        if(c % t == 0) c /= t;
        else c = c / t + 1;

这看起来像是在算 ceil(c / t)，其中 t = min(a, b)

这是错误的吗？

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🚨 重大疑问：为什么用 min(a, b) 而不是分别计算？

我们用样例验证：

样例 1：a=2, b=3, c=4

• gcd(2,3)=1 → a=2, b=3
• t = min(2,3) = 2
• c=4, 4 % 2 == 0 → c = 4/2 = 2
• 输出：a*c + b*c = (2+3)*2 = 10 ✅

但按正确逻辑：

• A 齿数 = k * b = 3k ≥ 4 → k ≥ 2（因为 3×1=3<4）
• B 齿数 = k * a = 2k ≥ 4 → k ≥ 2
• k = 2 → 总齿数 = 3×2 + 2×2 = 10 ✅

这里 min(a,b)=2，ceil(4/2)=2，而 ceil(4/3)=2，所以 max=2，和 ceil(c / min(a,b)) 相等。

样例 2：a=4, b=8, c=5

• gcd=4 → a=1, b=2
• t = min(1,2)=1
• c=5, 5%1==0 → c=5
• 输出：(1+2)*5=15 ✅

正确逻辑：

• A 齿数 = 2k ≥5 → k≥3（2×2=4<5）
• B 齿数 = 1k ≥5 → k≥5
• k = max(3,5)=5 → 总=2×5+1×5=15 ✅

但 min(a,b)=1，ceil(5/1)=5，而 ceil(5/2)=3，max=5，等于 ceil(c / min(a,b))

样例 3：a=5, b=2, c=8

• gcd=1 → a=5, b=2
• t = min(5,2)=2
• c=8, 8%2==0 → c=4
• 输出：(5+2)*4=28 ✅

正确逻辑：

• A 齿数 = 2k ≥8 → k≥4
• B 齿数 = 5k ≥8 → k≥2（5×1=5<8, 5×2=10≥8）
• k = max(4,2)=4 → 总=2×4+5×4=28 ✅

而 min(a,b)=2，ceil(8/2)=4，ceil(8/5)=2，max=4 = ceil(c / min(a,b))

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✅ 发现规律！

因为：

• k ≥ ceil(c / a) 且 k ≥ ceil(c / b)
• 而 ceil(c / x) 是 x 的减函数（x 越大，值越小）
• 所以 max(ceil(c/a), ceil(c/b)) = ceil(c / min(a, b))

✅ 证明：

• 设 m = min(a, b)，则 m ≤ a 且 m ≤ b
• 所以 c/m ≥ c/a 且 c/m ≥ c/b
• 因此 ceil(c/m) ≥ ceil(c/a) 且 ceil(c/m) ≥ ceil(c/b)
• 又因为 m 是 a 或 b 之一，所以 ceil(c/m) 就是两者中的较大者

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回到代码

        t = min(a, b);
        if(c % t == 0) c /= t;
        else c = c / t + 1;

• 这就是在计算 k = ceil(c / t) = ceil(c / min(a, b))
• 然后 c 被重用为 k

        cout << a * c + b * c << endl;

• 总齿数 = k * a + k * b = k * (a + b)
• 注意：这里 a 和 b 是约分后的值
• A 齿数 = k * b，B 齿数 = k * a，总和 = k*(a + b) ✅

⚠️ 虽然变量名 a, b 容易让人混淆方向，但因为加法交换律，a*c + b*c = (a+b)*c，结果正确。

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✅ 总结：代码逻辑链

1. 读入 a, b, c
2. 约分 a : b 为最简比（除以 gcd）
3. 计算最小缩放因子 k = ceil(c / min(a, b))
   • 利用数学性质：max(ceil(c/a), ceil(c/b)) = ceil(c / min(a,b))
4. 总齿数 = k × (a + b)
5. 输出

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🧪 再验证样例

输入	约分后 (a,b)	min	k = ceil(c/min)	总齿数
2 3 4	(2,3)	2	ceil(4/2)=2	(2+3)×2=10
4 8 5	(1,2)	1	ceil(5/1)=5	(1+2)×5=15
5 2 8	(5,2)	2	ceil(8/2)=4	(5+2)×4=28

全部匹配！

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✅ 最终结论

这段代码关键之处：

• 利用齿轮转速与齿数反比建立比例关系
• 通过约分得到最简整数比
• 利用数学恒等式将双上限约束简化为单上限
• 用整数除法高效计算上取整

是典型的"数学建模 + 数论优化"竞赛题解法