进阶数据结构——单调队列

曙曙学编程2025-02-11 16:40

目录

一、单调队列的核心思想与本质

核心思想：通过维护队列的单调性，快速获取区间内的最值信息，避免重复遍历。

本质：利用双端队列（Deque）动态维护一个单调递增或递减的序列，支持高效查询和更新。

二、单调队列的应用场景

1. 滑动窗口最大值

问题描述 ：给定数组 nums 和窗口大小 k，返回每个窗口的最大值。
单调队列解法：维护一个单调递减队列，队首为当前窗口最大值：

python 复制代码 
from collections import deque

def maxSlidingWindow(nums, k):
    q = deque()
    res = []
    for i, num in enumerate(nums):
        # 移除队尾小于当前元素的元素
        while q and nums[q[-1]] < num:
            q.pop()
        # 将当前元素下标加入队尾
        q.append(i)
        # 移除队首超出窗口范围的元素
        while q[0] <= i - k:
            q.popleft()
        # 队首为当前窗口最大值
        if i >= k - 1:
            res.append(nums[q[0]])
    return res

2. 区间最值查询

问题描述 ：动态查询数组中任意区间的最小值或最大值。
单调队列解法：通过滑动窗口维护区间最值，适用于固定窗口大小的问题。

3. 优化动态规划

问题描述 ：在动态规划中，状态转移方程涉及区间最值查询时，单调队列可以优化时间复杂度。

示例：LeetCode 1696. 跳跃游戏 VI。

三、单调队列的实现与优化

1. 双端队列的选择

Python：使用 collections.deque，支持高效的头尾操作。

C++：使用 std::deque 或手写双端队列。

Java：使用 ArrayDeque。

2. 单调性的维护

单调递增队列：队首为最小值，队尾为最大值。

单调递减队列：队首为最大值，队尾为最小值。

3. 空间压缩

存储下标而非值：通过下标可同时访问元素值和位置信息，减少空间占用。

结果数组复用：在部分问题中，直接修改原数组或复用结果数组。

四、单调队列的复杂度分析

时间复杂度

每个元素入队一次：遍历时每个元素被压入队列一次。

每个元素最多出队一次：一旦被弹出，后续不再处理。

总操作次数：

2n→O(n)。

空间复杂度

最坏情况：数组完全单调（如严格递增），队列空间为

O(n)。

优化后：多数问题中队列空间远小于 n

五、单调队列的变种与高阶应用

1. 二维单调队列

问题描述：在二维矩阵中查询子矩阵的最值。

实现思路：对每一行或每一列分别使用单调队列，再结合滑动窗口。

2. 带限制的滑动窗口

问题描述：在滑动窗口中增加额外限制条件（如窗口内元素和不超过某值）。

实现思路：结合前缀和与单调队列，动态维护窗口状态。

3. 多队列协作

问题描述：在复杂问题中，可能需要同时维护多个单调队列（如最大值队列和最小值队列）。

示例：LeetCode 239. 滑动窗口最大值。

六、常见陷阱与调试技巧

1. 边界条件处理

空队列检查：在弹出队首前需判断队列是否为空。

窗口范围检查：确保队首元素始终在窗口范围内。

2. 调试方法

打印队列状态：在每次入队/出队时输出队列内元素。

可视化遍历过程：手动画出元素处理顺序和队列变化。

七、代码模版

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<deque>
using namespace std;

#define maxn 100001;

template<typename T>
bool max(T a, T b) {
	return a <= b;
}

template<typename T>
bool min(T a, T b) {
	return a >= b;
}

template<typename T>
void findIntervalMinMax(int n, int k, T h[], int ans[],bool (*cmp)(T a, T b)) {
	deque<int>q;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		while (!q.empty() && cmp(h[q.back()], h[i])) {
			q.pop_back();
		}
		q.push_back(i);	
		while (q.back() - q.front() + 1 > k) {
			q.pop_front();
		}
		ans[i] = h[q.front()];
	}
}

int main() {
	int h[] = { 8,7,6,9,11 };
	int ans[10];
	findIntervalMinMax(5, 3, h, ans, max);
	for (int i = 0; i < 5; i++) {
		cout << ans[i] << ' ';
	}
	cout << endl;
	findIntervalMinMax(5, 3, h, ans, min);
	for (int i = 0; i < 5; i++) {
		cout << ans[i] << ' ';
	}
	cout << endl;
	return 0;
}

八、经典例题

滑动窗口 /【模板】单调队列

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<deque>
using namespace std;

#define maxn 1000001

template<typename T>
bool max(T a, T b) {
	return a <= b;
}

template<typename T>
bool min(T a, T b) {
	return a >= b;
}

template<typename T>
void findIntervalMaxMin(int n, int k, T h[], int ans[], bool (*cmp)(T a, T b)) {
	deque<int>q;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		while (!q.empty() && cmp(h[q.back()], h[i])) {
			q.pop_back();
		}
		q.push_back(i);
		while (q.back() - q.front() + 1 > k) {
			q.pop_front();
		}
		ans[i] = h[q.front()];
	}
	
}

int h[maxn], ans[maxn];

int main() {
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> h[i];
	}
	findIntervalMaxMin(n, k, h, ans, min);
	for (int i = k - 1; i < n; i++) {
		cout << ans[i] << ' ';
	}
	cout << endl;
	findIntervalMaxMin(n, k, h, ans, max);
	for (int i = k - 1; i < n; i++) {
		cout << ans[i] << ' ';
	}
	cout << endl;
	return 0;
}

单调队列

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<deque>
using namespace std;

#define maxn 1000001

template<typename T>
bool max(T a, T b) {
	return a <= b;
}

template<typename T>
bool min(T a, T b) {
	return a >= b;
}

template<typename T>
void findIntervalMaxMin(int n, int k, T h[], int ans[], bool (*cmp)(T a, T b)) {
	deque<int>q;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		while (!q.empty() && cmp(h[q.back()], h[i])) {
			q.pop_back();
		}
		q.push_back(i);
		while (q.back() - q.front() + 1 > k) {
			q.pop_front();
		}
		ans[i] = h[q.front()];
	}
	
}

int h[maxn], ans[maxn];

int main() {
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> h[i];
	}
	findIntervalMaxMin(n, k, h, ans, min);
	for (int i = k - 1; i < n; i++) {
		cout << ans[i] << ' ';
	}
	cout << endl;
	findIntervalMaxMin(n, k, h, ans, max);
	for (int i = k - 1; i < n; i++) {
		cout << ans[i] << ' ';
	}
	cout << endl;
	return 0;
}

MAX最值差

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<deque>
using namespace std;

#define maxn 1000001

template<typename T>
bool max(T a, T b) {
	return a <= b;
}

template<typename T>
bool min(T a, T b) {
	return a >= b;
}

template<typename T>
void findIntervalMaxMin(int n, int k, T h[], int ans[], bool (*cmp)(T a, T b)) {
	deque<int>q;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		while (!q.empty() && cmp(h[q.back()], h[i])) {
			q.pop_back();
		}
		q.push_back(i);
		while (q.back() - q.front() + 1 > k) {
			q.pop_front();
		}
		ans[i] = h[q.front()];
	}
	
}

int h[maxn], ans[maxn], ans1[maxn], ans2[maxn];

int main() {
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> h[i];
	}
	findIntervalMaxMin(n, k, h, ans1, min);
	findIntervalMaxMin(n, k, h, ans2, max);
	int max = -1000000000;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		ans[i] = ans2[i] - ans1[i];
		if (ans[i] > max)max = ans[i];
	}
	cout << max << endl;
	return 0;
}

九、总结与学习建议

1. 核心总结

单调队列的核心是利用单调性快速获取区间最值，适合解决滑动窗口类问题。

高阶问题的突破口通常在于维度转换（如二维转一维）或逻辑等价变形。

2. 学习建议

分类刷题：按问题类型集中练习（如滑动窗口、区间最值、动态规划优化）。

对比暴力解法：理解单调队列如何减少重复计算。

手写模拟过程：在纸上画出队列的变化，加深直观理解。

通过以上分析，单调队列作为一种高效的数据结构，在解决区间最值查询和滑动窗口问题时具有显著优势。掌握其核心思想和实现技巧，能够大幅提升算法效率。

希望大家可以一键三连，后续我们一起学习，谢谢大家！！！

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