一、动态规划DP 编辑问题
1、不同的子序列 115
采用动态规划来解决子序列问题。有两个字符串，采用二维dp数组，dp[i][j]表示0~i-1的s子字符串中含有0 ~j-1的t子字符串的个数。
递推公式分为s[i - 1] 与 t[j - 1]相等和不相等的情况
CPP
class Solution {
public:
int numDistinct(string s, string t) {
int m = s.size(), n = t.size();
vector<vector<unsigned long long>> dp(m + 1, vector<unsigned long long>(n + 1));
for(int i=0; i<=m; ++i)
dp[i][0] = 1;
for(int i=1; i<=m; ++i){
for(int j=1; j<=n; ++j){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(s[i-1]==t[j-1])
dp[i][j] += dp[i-1][j-1];
}
}
return dp[m][n];
}
};由递推公式可知，当前值dp[i][j]只与其上方的值和左上方值有关，可以将二维数组优化成一维数组，代码如下
CPP
class Solution {
public:
int numDistinct(string s, string t) {
int m = s.size(), n = t.size();
vector<unsigned long long> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for(int i=1; i<=m; ++i){
int leftup = dp[0];
for(int j=1; j<=n; ++j){
int tmp = dp[j];
if(s[i-1]==t[j-1])
dp[j] += leftup;
leftup = tmp;
}
}
return dp[n];
}
};2、两个字符串的删除操作 583
相比于上一题，区别就是两个字符串都可以进行删除。
所以在推导递推公式时，当word1[i-1]==word2[j-1]， d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j−1]；当word1[i-1]!=word2[j-1]， d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) + 1 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1 dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+1，会从删除word1[i-1]或者word2[j-1]之后取最小的结果，同时+1（删除操作）。
CPP
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int m = word1.size(), n = word2.size();
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
for(int i=0; i<=m; ++i)
dp[i][0] = i;
for(int i=1; i<=n; ++i)
dp[0][i] = i;
for(int i=1; i<=m; ++i){
for(int j=1; j<=n; ++j){
if(word1[i-1]==word2[j-1])
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
else
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1;
}
}
return dp[m][n];
}
};空间复杂度优化，思路和之前提到的一样，采用变量记录左上方的值，代码如下：
CPP
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int m = word1.size(), n = word2.size();
vector<int> dp(n + 1);
for(int i=1; i<=n; ++i)
dp[i] = i;
for(int i=1; i<=m; ++i){
int leftup = dp[0];
dp[0] = i;
for(int j=1; j<=n; ++j){
int tmp = dp[j];
if(word1[i-1]==word2[j-1])
dp[j] = leftup;
else
dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + 1;
leftup = tmp;
}
}
return dp[n];
}
};3、编辑距离 72
直接DP，dp数组dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2的最近编辑距离。
递推公式推导，当word1[i - 1] == word2[j - 1]时，表示不需要进行操作， d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j−1]；当word1[i - 1] ！= word2[j - 1]时，我们可以对word2[j-1]进行删除（dp[i][j-1]），也可以对word1[i-1]进行删除(dp[i-1][j])， d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j−1]；还有将word1[i-1]或者word2[j-1]替换（dp[i-1][j-1]），所以 d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] , m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) ) + 1 dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])) + 1 dp[i][j]=min(dp[i−1][j−1],min(dp[i−1][j],dp[i][j−1]))+1
CPP
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int m = word1.size(), n = word2.size();
vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1));
for(int i=1; i<=m; ++i)
dp[i][0] = i; // 执行插入操作即可
for(int i=1; i<=n; ++i)
dp[0][i] = i;
for(int i=1; i<=m; ++i){
for(int j=1; j<=n; ++j){
if(word1[i-1]==word2[j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
}else{
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], min(dp[i][j-1], dp[i-1][j-1])) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}
};空间复杂度优化，优化思路和之前一样，需要注意边界的初始化，代码如下：
CPP
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int m = word1.size(), n = word2.size();
vector<int> dp(n+1);
for(int i=1; i<=n; ++i)
dp[i] = i;
for(int i=1; i<=m; ++i){
int leftup = dp[0];
dp[0] = i;
for(int j=1; j<=n; ++j){
int tmp = dp[j];
if(word1[i-1]==word2[j-1]){
dp[j] = leftup;
}else{
dp[j] = min(dp[j], min(dp[j-1], leftup)) + 1;
}
leftup = tmp;
}
}
return dp[n];
}
};二、写在后面
字符串的编辑问题需要搞清楚是只能编辑一个字符串，还是两个字符串都可以编辑，这决定了递推公式的写法；同时需要注意初始化问题。另外，二维数组转一维数组较为套路化，需要细心。