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上一期我们了解了对策论的基本概念，包含对策行为和对策论、对策现象的三要素、对策问题举例以及对策的分类。
接下来小编将为大家介绍矩阵对策的基本理论，包括矩阵对策的纯策略、矩阵对策的混合策略 和矩阵对策的基本定理。
01
矩阵对策的纯策略
矩阵对策即为二人有限零和对策。
"二人"是指参加对策的局中人有两个；"有限"是指每个局中人的策略集均为有限集；"零和"是指有任一局势下，两个局中人的赢得之和总等于零，即一个局中人的所得值恰好等于另一局中人的所失值，双方的利益是完全对抗的。
"齐王赛马"就是一个典型的矩阵对策的例子。该例子中，参加对策的局中人为齐王、田忌两个人；双方都有上、中、下三个等级的马，表示齐王和田忌的策略集均为有限集，即均有6个策略；其中负者要给胜者千金，满足一个局中人的所得值恰好等于另一局中人的所失值，即在任一局势下，两个局中人的赢得之和总等于零。
矩阵对策中，完全信息博弈 指的是各参与者（局中人）对其他参与者（局中人）的特征、策略集、赢得函数（支付函数）都了解，据此选择自己的博弈策略。不完全信息博弈 指的是至少有一个参与者（局中人）不知道其他参与者（局中人）的赢得函数（支付函数）。在完全信息博弈情况下，如果在每个给定信息下，只能选择一种特定策略，这个策略为"纯策略 "；如果在每个给定信息下只能以某种概率选择不同策略，称为"混合策略"。
一般地，用Ⅰ和Ⅱ分别表示两个局中人，设局中人Ⅰ有m 个纯策略α 1,...,αm ，策略集S 1={α 1,...,αm }；局中人Ⅱ有n 个纯策略β 1,...,βn ，策略集S 2={β 1,...,βn }。当局中人Ⅰ选定纯策略αi 和局中人Ⅱ选定纯策略βj 后，就形成了一个纯局势(αi,βj )，这样的纯局势共有m ×n 个。对任一纯局势(αi ,βj )，记局中人Ⅰ的赢得值为aij，其中
A 为局中人Ⅰ的赢得矩阵（局中人Ⅱ的支付矩阵）。由于对策为零和的，故局中人Ⅱ的赢得矩阵就是*-A*。
当局中人Ⅰ,Ⅱ的策略集S 1，S 2及局中人Ⅰ的赢得矩阵A 确定后，一个矩阵对策也就给定了，记为G ={S 1,S 2;A}。在"齐王赛马"的例子中，齐王的赢得矩阵为：
已知矩阵模型，局中人应如何选择对自己最有利的纯策略以取得最大的赢得（或最少损失）。下面用一个例子来分析各局中人应如何选择最有利策略。
例题展示
例5 设有一矩阵对策G ={S 1,S 2;A}，其中
由A 可看出，局中人Ⅰ的最大赢得是9，要想得到这个赢得，他就得选择纯策略。由于假定局中人Ⅱ也是理智的竞争者，他考虑到局中人Ⅰ打算出α 3的心理，便准备选择β 3，使局中人Ⅰ不但得不到9，反而失掉10。局中人Ⅰ当然也会猜到局中人Ⅱ的这种心理，故转而出α 4来对付，使局中人Ⅱ得不到10，反而失掉6......所以，如果双方都不想冒险，都不存在侥幸心理，而是考虑到对方必然会设法使自己所得最少这一点，就应该从各自可能出现的最不利的情形中选择一个最有利的情形作为决策的依据，这就是所谓"理智行为"，也是对策双方实际上可以接受并采取的一种稳妥的方法。
在例5中，局中人Ⅰ在各纯策略下可能得到的最少赢得分别为：-8，2，-10，-3，其中最好的结果是2。因此，无论局中人Ⅰ选择什么样的纯策略，局中人只要以α 2参加对策，就能保证他的收入不会少于2，而出其他任何纯策略，都有可能使局中人Ⅰ的收入少于2，甚至输给对方。同理，对局中人Ⅱ来说，各纯策略可能带来的最不利的结果是：9，2，6，其中最好的也是2，即局中人Ⅱ只要选择纯策略β2，无论对方采取什么纯策略，他的所失值都不会超过2，而选择任何其他的纯策略都有可能使自己的所失超过2。
上述分析表明，局中人Ⅰ和Ⅱ的"理智行为"分别是选择纯策略α 2和β 2，这时，局中人Ⅰ的赢得值和局中人Ⅰ的所失值的绝对值相等，局中人Ⅰ得到了其预期的最少赢得2，而局中人Ⅱ也不会给局中人Ⅰ带来比2更多的所得，相互的竞争使对策出现了一个平衡局势 (α 2,β 2),这个局势就是双方均可接受的，且对双方来说都是一个最稳妥的结果。因此，α 2和β 2应分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优纯策略。
定义1
设G ={S 1,S 2;A }为一矩阵对策，其中S 1={α 1,...,αm }，S 2={β 1,...,βn }，A =(aij )m ×n。若
成立，记其值为VG ，则称VG 为对策的值，使上式成立的纯局势(αi *,βj *)为G 在纯策略意义下的解（或平衡局势），αi *和βj*分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优纯策略。
从例5还可看出，矩阵A 中平衡局势(α 2,β 2)对应的元素a 22既是其所在行的最小元素，又是其所在列的最大元素，即有：a i 2≤a 22≤a 2j ，i= 1,2,3,4，*j=*1,2,3，将这一事实推广到一般矩阵对策可得以下定理。
定理推出
定理 1
矩阵对策G ={S 1,S 2;A }在纯策略意义下有解的充要条件是：存在纯局势(αi *,βj *)，使得对任意i 和j 有：aij*≤ai*j*≤ai*j。
在该定理中，
是通过先从列中取最大值然后再取所有最大值中的最小值得到的。在j* 列中，该列aij* 的值都小于等于ai*j*。
是通过先从行中取最小值然后再取所有最小值中的最大值得到的。在i* 列中，该行的值ai*j* 都小于等于ai*j。
元素ai*j* 为矩阵A 的鞍点 。鞍点是零和博弈中一个策略组合点，也是双方均无调整策略动机的均衡点，其特征为该元素在矩阵的第i *行是最小值，同时在第j *列是最大值。在该点上，局中人Ⅰ的最大赢得等于局中人Ⅱ的最小损失。在矩阵对策中，矩阵A的鞍点也称为对策的鞍点。
当局中人Ⅰ选择了纯策略αi *后，局中人Ⅱ为了使其所失最少，只能选择纯策略βj *，否则就可能失得更多；反之，当局中人Ⅱ选择了纯策略βj *后，局中人Ⅰ为了达到最大的赢得也只能选择纯策略αi *，否则就会赢得更少，双方的竞争在局势（αi *,βj*）下达到了一个平衡状态。
例题展示
例6 设有一矩阵对策G ={S 1,S 2;A}，其中
其中
故(α 1,β 2)(α 1,β 4)(α 3,β 2)(α3,β4)都是对策的解，且VG=8。一般对策的解可以是不唯一的，当解不唯一时，解之间的关系具有下面两条性质。
性质
性质1 （无差别性）若*(ai* 1,βj 1)和(ai 2,βj 2)是对策G 的两个解，则ai 1j 1*=ai* 2j2。
性质2 （可交换性）若(ai 1,βj 1)和(ai 2,βj 2)是对策G 的两个解，则(ai 1,βj 2)和(ai 2,βj 1)是对策G的两个解。
这两条性质表明：矩阵对策的值是唯一的，即当一个局中人选择了最优纯策略后，他的赢得值不依赖于对方的纯策略。
例题展示
例7 某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖和较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天起寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为100元、150元和200元，又设秋季时煤价为每吨100元。在没有关于冬季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支出最少？
分析 ：这一储量问题可以看作一个对策问题。把采购员看作局中人Ⅰ，他有三个策略：在秋天时买煤10吨、15吨与20吨，分别记作α 1、α 2、α 3。把大自然看作局中人Ⅱ，它有三个策略：冬季时出现较暖的、正常的与较冷的气候，分别记作β 1、β 2、β3。此处可把大自然当做理智的局中人来处理。把该单位冬季取暖用煤实际费用（即秋季购煤时的费用与冬季不够时再补够的费用总和）作为局中人Ⅰ的赢得，得矩阵：
故对策的解为（α 3,β3），即秋季储煤20吨比较合理。
02
矩阵对策的混合策略
已知，在一个矩阵对策G ={S 1,S 2;A}中，局中人Ⅰ能保证的至少赢得是
局中人Ⅱ能保证的至多所失是
一般，局中人Ⅰ的赢得不会多于局中人Ⅱ的所失，故总有
v 1≤v2
当v 1=v 2时，矩阵对策在纯策略意义下有解。然而，实际中出现的更多情形是v 1＜v2，这时，根据定义1，对策不存在纯策略意义下的解。例如，对赢得矩阵为
的对策来说：
于是，当双方各根据从最不利情形中选择最有利的原则选择纯策略时，应分别选择α 2和β 1，此时局中人Ⅰ的赢得为5，比其预期的至多赢得v 1=4还多。原因在于局中人Ⅱ选择了β 1，使局中人Ⅰ得到了本不该得的赢得，故β 1对局中人Ⅱ来说不是最优的，因此他会考虑出β 2。局中人Ⅰ会采取相应的办法，改出α 1，以使赢得为6，而局中人Ⅱ又可能仍取策略β 1来对付局中人Ⅰ的策略α 1，这样，局中人Ⅰ出α 1和α 2的可能性及局中人Ⅱ出β 1和β2的可能性都不能排除，对两个局中人来说，不存在一个双方都可以接受的平衡局势，即不存在纯策略意义下的解。
在这种情况下，一个比较自然且合乎实际的想法是：既然局中人没有最优策略可出，是否可以给出一个选择不同策略的概率分布。如局中人Ⅰ可制定这样一种策略：分别以概率1/4和3/4选取纯策略α 1和α 2，称这种策略为一个混合策略。同样，局中人Ⅱ也可以制定这样一种混合策略：分别以概率1/2 , 1/2选取纯策略β 1，β2。
接下来介绍矩阵对策混合策略及其在混合策略意义下解的定义。
定义2
设有矩阵对策G ={S 1,S 2;A}，其中
则分别称S 1*和S 2*为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集（或策略集）；对x∈S 1*和 y∈S 2*，称x 和y 为混合策略（或策略），(x ,y)为混合局势（或局势）。局中人Ⅰ的赢得函数记成
称G *={S 1*,S 2*;E }为对策G的混合补充。
已知对策模型，局中人应如何选择对自己最有利的混合策略以取得最大的赢得（或最少损失）？设两局中人仍如前所述进行理智决策，当局中人Ⅰ选择混合策略时，他的预期所得（最不利的情形）是
，因此，局中人Ⅰ应选取x ∈S1*,使得
同理，局中人Ⅱ可保证的所失的期望值至多是
显然，有v 1≤v2。
定义3
设矩阵对策G ={S 1,S 2;A }的混合扩充为G *={S 1*,S 2*;E}。如果
记其值为VG ，则称VG为对策G 的值，称使上式成立的混合局势(x *,y *)为G 在混合策略意义下的解（或平衡局势），称x *和y*分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优混合策略。
和定理1类似，可以给出矩阵对策G在混合策略意义下解存在的鞍点型充要条件。
定理推出
定理 2
矩阵对策G在混合策略意义下有解的充要条件是：存在x *∈S 1*，y *∈S 2*，使得对任意x ∈S 1*和y ∈S2*，有
例题展示
例8 考虑矩阵对策G ={S 1,S 2;A}，其中
第一步：判断G 是否存在纯策略意义下的解，由前面讨论已知G在纯策略意义下无解。
第二步：采用混合策略来求解。设x =(x 1,x 2)和y =(y 1,y2)分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略，则
局中人Ⅰ的赢得的期望
将x 2=1-x 1,y 2=1-y1代入，
将其进行整理，
取
，
，则
，
，即有
根据定理2可得，该矩阵在混合策略意义下有解，
分别是局中人Ⅰ和Ⅱ的最优混合策略，对策的值局中人Ⅰ的赢得的期望值为VG=9/2。
03
矩阵对策的基本定理
这部分将讨论矩阵对策解的存在性 及其性质 ，给出矩阵对策在混合策略意义下解的存在性的构造性证明，同时给出了求解矩阵对策的基本方法―线性规划方法。
先给出两个记号：
局中人Ⅰ取纯策略αi 时，记其相应的赢得函数为E (i ,y)，则有
局中人Ⅱ取纯策略βj 时，记其相应的赢得函数为E (x ,j)，则有
因此有
和
定理推出
定理 3
设x *∈S 1*，y *∈S 2*，则(x *,y *)为对策G 的解的充要条件是：对任意i =1,...,m 和j =1,...,n，有
定理3的另一等价形式是定理4。
定理 4
设x *∈S 1*，y *∈S 2*，则(x *,y *)为对策G 的解的充要条件是：存在数v ，使得x *和y *分别是下面两个不等式组的解，且v =VG。
证明： 用线性规划法求混合策略解的方法（以下为A的赢得矩阵）：
根据矩阵博弈中局中人A的策略是对局中人B策略的最优反应，A是在最不利情况下找最有利的结果，局中人A的期望收益va可表示为：
用线性规划法求混合策略解的方法：
若令
则A的期望收益可表达成线性规划的形式：
令
，已知：
同理，当B采用混合策略，A分别用纯策略α 1,...,αn时，B的期望收益为：
对B来说，损失越大越不利，B是从最不利情况下找最有利结果，在局中人B的期望损失vb可表示为：
若令
则B的期望损失可表达成线性规划的形式（最大损失找最小）：
令
，已知
策略A和B是互为对偶的线性规划，因此可以通过线性规划法求解混合策略解。
定理 5
对任一矩阵对策G ={S 1,S 2;A}，一定存在混合策略意义下的解。
证明： 由定理3，只要证明存在x *∈S 1*，y *∈S 2*，使得式E (i ,y *) ≤E (x *,y *)≤E (x *,j)成立
和
易验证，问题（P ）和（D）是互为对偶的线性规划，而且
是问题（P）的一个可行解；
是问题（D）的一个可行解。
由线性规划对偶定理可知，问题（P ）和（D ）分别存在最优解(x *,w *)和(y *,v *)，且w *=v *。即存在x *∈S 1*，y *∈S 2* 和数v *，使得对任意i =1,...,m 和j =1,...,n，有
或
又由
得到v *=E (x *,y *)， 由E (i ,y *)≤v *≤E (x *,j )可知E (i ,y *)≤E (x *,y *)≤E (x *,j)成立，证毕。
定理 6
设(x *,y *)是矩阵对策G 的解，v =VG则根据互补松弛性，有
（1）若xi*＞0，则
（2）若yj*＞0，则
（3）若
，则xi*=0
（4）若
，则yj*=0
**证明：**由
有
又因为
所以，当xi*＞0时，必有
；
当
时，必有x i*=0，(1)，(3)得证。同理可证(2)，(4)，证毕。
定理 7
设两个矩阵对策G 1={S 1,S2 ;A 1}，G 2={S 1,S 2;A 2}，其中A 1=(aij )，A 2=(aij+L )，L为任意常数，则
(1)VG 2=VG 1+L
(2)T (G 1)=T(G2)
定理 8
设两个矩阵对策G 1={S 1,S2 ;A }，G 2={S 1,S 2;α A }，其中α>0，为任意常数，则
(1)VG 2=α VG1
(2)T (G 1)=T (G2)
定理 9
设G ={S 1,S 2;A }为一矩阵对策，且A =-AT为斜对称矩阵（亦称这种对策为对称对策），则
(1)VG=0
(2)T 1(G )=T 2(G)
其中，T 1(G )和T 2(G)分别为局中人Ⅰ和局中人Ⅱ的最优策略集。
以上就是矩阵对策的基本理论的全部内容了，通过本期学习，大家是否对对策论有了进一步的认识呢？下一期小编将带大家学习矩阵对策的解法，敬请关注！
作者 | 唐京茹 李超凡
责编 | 唐京茹
审核 | 徐小峰
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