绪论：冲击蓝桥杯一起加油！！
每日激励："不设限和自我肯定的心态：I can do all things。 --- Stephen Curry"
**绪论：
今天总结了下位操作中常见的使用的方法，并且附加许多训练，通过方法 + 训练，位操作算法就将有很大的提升，后续将持续更新前缀和算法。敬请期待~早关注不迷路，话不多说安全带系好，发车啦（建议电脑观看）。**
位运算
首先了解基本的位运算操作（必备）：
<<：左移，所有位数左移（如：1111 << 1 = 1110）>>：右移，所有位数右移（如：1111 >> 1 = 0111）~：取反，将所有位数全部取反（0 -> 1/ 1 -> 0）、如： ~1111 = 0000- 至于 & 、| 、^ 看下图左边运算（001 与 011进行位运算操作，得到的结果）
&：按位与，有0就是0|：按位或，有1就是1^：按位异或，相同为0，相异位1（或者可以看成无进位的加法）
-
约定下标从右往左的0开始：
-
这样某位置移动到0位置的移动值就是自己的下标
-
这里的下标，并不是数组中的真下标，而是我们在记忆位数时它的位置的标识，从0开始到31（并且注意是从右往左的记忆）
-
对于位运算的优先级，就不记忆了，就经量使用括号
常用的基础位运算操作
- 判断一个数的二进制中第x位为0/1
- 方法很简单 结合上面的
>> 、 &位运算符 - 其中注意在位运算中 会经常用到 1，来辅助位运算（因为他的二进制中只有1位：000... 0001，这样就能通过这一位进行操作，也能避免很多复杂问题）
- 此处的话我们可以将 某个数进行右移
>>x位，再 按位与x>>上1（因为对与&来说，有0就是0，这样的话，按位与上1的话，若第x位上是0则为0，反之为1的话和按位与的1都没有0，就为1，而对于其他位来说不同管因为1的除了第一位为1其他都是0，按位与后都为0，所以结果只用两种可能 000...0000 / 000...0001） - 具体如下图假设
- n为：...0110101001、
- 1： ...000...0001
- 通过将n右移x位，将x位的值移动第一位，在与000...01进行按位与，即可得到答案
- 方法很简单 结合上面的
对于后面的就不再细讲了，建议写草稿模拟情况就能很好的理解了，具体有问题可以评论。
- 将数 n 的二进制修改成1：
n |= （1 << x）
训练题目：leetcode 191 338 461
- 将一个数的二进制表示的第x位修改成 0：
n &= (~(1<<x))
- 位图思想：位图中我们就是通过 位操作进行管理其中的数据，位图内部主要通过0/1来判断该数据是否存在，我们可以用于存储一已知的容器数据但它访问速度可能较慢，那么可以将他在存放到位图中，这样通过 常量级的位操作就能快速的知道数据的状态。
- 提取一个二进制数中的最右侧的1：
n &= -n
- 干掉二进制数中最右侧的1：
n &= (n-1)
- 一些按位异或的运算律
a ^ 0 = aa ^ a = aa ^ b ^ c = a ^ (b ^ c)
- 对于
a ^ b ^ c来说他的本质是：可以理解为按位异或操作是有交换律的，我们能同时的看三个数，它们的顺序无所谓，那么也就能看成：抵消1的形式快速的算出答案（具体如下图）
相关训练：LeetCode136、260
如何将 a ^ b 划分出来
其中就260比较特别和困难：这里讲一下
- 想通过 按位与操作得到两个单独的数据 a ^ b
- 现在需要将他给区分开
- 对于 a ^ b来说，若要区分可以通过找1，因为按位异或的本质是：相同为0，相异为1
- 所以可以找到第一个不同的地方，也就是最右边的1
- 通过这个1的进行区分两个数，并将这两个数给分别通过按位异或的方式放到一个数组中
- 这样最终就能将这两个数放到两个数组中，也就能单独获得了
cpp
class Solution {
public:
vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) {
int res = 0;
for(auto c :nums){
res ^= c;//利用到 res ^ res = 0 & res & 0 = res 这两个按位异或技巧
//当res 在按位异或的过程中会将出现两次的给异或为0，而res 与 0 异或则还是res
}
//此时因为会有两个单独的值，所以res = a ^ b
// 1001
// 0011
// 1010：a ^ b
//此时找到 a ^ b 的最右边的1（这个代表他们不同的位）
//通过这个区分 a b 这两个数，然后再次遍历nums中的元素
//不过此时加上条件：通过 右移最右边这个数的下标i，后判断是否为1进行区分两数，将两数有分成了两种情况
//这样 对于 右移最右边这个数的下标i 为1 / 不为1 中，肯定最终只会留下 a 和 b（因为其他的还是重复的然后抵消了）
int i = 0;
for(; i < 32;i++){
if(((res >> i) & 1) == 1){
break;//代表找到最右边的1了
}
}
int res1 = 0,res2 =0;
//得到i的位置
for(auto c : nums){
if((c >> i) & 1 == 1){
//一份是：右移i位等于1的，同时也是 a ^ b中的某一位
res1 ^= c;
}
else{
res2 ^= c;
}
}
vector<int> v{res1,res2};
return v;
}
};将上面8个常见的情况记住并练习，后在进行下面的练习进一步巩固
具体训练：
1. 判定字符是否唯一
题目：
分析题目并提出，解决方法：
-
本题不难想到，通过一个hash来快速的确定元素出现的个数
-
但题目给了一个小小的提升：能不能不使用额外的空间
-
那么本题仅仅26位，我们是不是可以通过位图的思想：用一个整形来直接代替hash
-
结合前面的位操作，实现判断某个字符是否已经存在过
-
加上鸽巢原理：当字符串长度超过 26 时必定会有重复的字符！！
-
修改x位为1：n|= (1 << i)
题解核心逻辑：
cpp
class Solution {
public:
bool isUnique(string astr) {
if(astr.size() > 26 ) return false;//利用鸽巢原理进行优化
//使用位图 代替hash
int bit = 0;
for(auto c : astr){
int i = c - 'a';//得到字符的位置： 'a' - 'a' = 0、'b' - 'a' = 1
//判断字符是否已经出现过：
if((bit >> i & 1) == 1){
//进来代表第 i 位为1，并且代表已经出现过一次了
//所以就错误了，直接返回
return false;
}
bit |= (1 << i);//将第i位设置为 1
}
return true;
}
};
2. 丢失的数字
题目：
分析题目并提出，解决方法：
方法1：hash（空间复杂度：O（N））
- 先遍历填充hash
- 在遍历hash看哪个位置空了
高斯求和法：（（首项 + 尾项） * 项数）/ 2 等于所有元素的和，再减去数组中的和，这样就能得到缺失的和（空间复杂度：O（1））
方法3（本题解法）：位运算 a ^ a = 0（空间复杂度：O（1））
题解核心逻辑：
本题就主要写位运算的操作：
cpp
class Solution {
public:
int missingNumber(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
int res = 0;
for(int i = 0; i <= n;i++){
res ^= i;//得出 从 0 ~ n 的所以情况 0 ^ 1 ^ .... ^ n
}
for(auto i : nums){
res ^= i;// res ^ nums = 缺失的
}
return res;
}
};
3. 两整数之和
题目：
分析题目并提出，解决方法：
对于这种不能使用 + - 法的一般就是位运算了
- 首先回顾之前的按位异或操作又称无进位相加
按位异或的无进位相加
- 那么就需要找到他的进位值：发现当 a & b 时就能表示他是否需要进位（下图右边）
a & b 查看否需要进位
- 但这只是找到了他是否要进位的地方，我们还需要将他左移 1 位 从而完成进位后的低位++
- 然后再一次进行加法操作（按位异或：无进位加法）将进位值加上得到最终值
- 但注意：此时还需要再一次判断是否还有进位的地方：
- 若为0则表示不存在进位了
- 若不为0则代表仍然有进位，那么就需要再次重复2、3、4、5步（下图黑框框）
题解核心逻辑：
cpp
class Solution {
public:
int getSum(int a, int b) {
//使用 ^ 的无进位相加
//再使用 & 判断是否要进位（为0则代表不进位、不为0则代表有进位）
while((a & b) << 1){
int tmp = a;
a = a ^ b;
b = (tmp & b) << 1;
}
return a ^ b;
}
};4. 只出现一次的数字 II
题目：
分析题目并提出，解决方法：
题解核心逻辑：
cpp
class Solution {
public:
int singleNumber(vector<int>& nums) {
//将 nums 中的每个数的每一位 都相加并最终 模3，最终得到的每一位就是 只出现一次的每一位：为0 就是0，为1就是1
//此处 还能 %n 这样就能 看出就能排除重复出现n次 得到只出现1次的
int res = 0;
// n * 32
for(int i = 0 ; i < 32;i++){
//使用一个sum计算，判断在该位置的和
int sum = 0;
//3n0 + 0 = 0 -%3-> 0
//3n0 + 1 = 1 -%3-> 1
//3n1 + 0 = 3n -%3-> 0
//3n1 + 1 = 3n + 1 -%3-> 1
for(auto c : nums){
//判断c位置上 i 下标下的值
if(((c >> i) & 1) == 1){//判断是否为1，为1则++
sum++;
}
}
sum %= 3;//判断只出现一次的那个数的下标
if(sum == 1){
res |= (1 << i);//给结果下标添加算出来的值
}
}
return res;
}
};
5. 消失的两个数字
题目：
分析题目并提出，解决方法：
分析题目不难通过前面的铺垫想出：
- 通过创建下同大小的数组与缺失数组进行 按位异或 操作，最终会得到缺失两个数的 a ^ b
- 此时通过 a ^ b 找到它最后一位1的位置
- 将原数组和缺失数组都分成两份，并且这两份中会各自有a和b（获取没a和b）
- 这样再将分开的数组 相互 按位异或 就得到了分别缺失的两个a和吧
题解核心逻辑：
cpp
class Solution {
public:
vector<int> missingTwo(vector<int>& nums) {
int n = nums.size() + 2;
// 创建原数组,这里本质不用创建，直接不断 ^ 存储即可！
int sum = 0;
for(int i = 1 ; i <= n ;i++){
sum ^= i;
}
//先与缺数数组相 按位异或
int absent_value = sum;
for(auto c : nums) {
absent_value ^= c;
}
//得到了 a ^ b 缺失的值，现在找到第一个不同的位置
int i = 0;
for(; i < 32 ;i++){
if((absent_value >> i) & 1 == 1){
break;
}
}
//找到了i的位置，将原数组和缺失数组再次分成两份，再分别相异或
vector<int> arr(2,0);
for(int j = 1;j <= n;j++){
if(((j >> i) & 1) == 1){
arr[0] ^= j;
}else{
arr[1] ^= j;
}
}
for(auto c : nums) {
if(((c >> i) & 1) == 1){
arr[0] ^= c;
}else{
arr[1] ^= c;
}
}
return arr;
return arr;
}
};