前缀和矩阵 - 技术栈

前缀和矩阵（Prefix Sum Matrix）是一种预处理技术，用于快速计算二维矩阵中任意子矩阵的元素和。其核心思想是通过提前计算并存储每个位置左上角所有元素的和，将子矩阵和的查询时间从暴力计算的 (O(mn)) 优化到 (O(1))。以下是构建前缀和矩阵的详细步骤和示例：

文章目录

- - [1. 定义原矩阵与前缀和矩阵](#1. 定义原矩阵与前缀和矩阵)
  - [2. 构建前缀和矩阵的步骤](#2. 构建前缀和矩阵的步骤)
  - - [步骤 1：初始化前缀和矩阵](#步骤 1：初始化前缀和矩阵)
    - [步骤 2：递推公式](#步骤 2：递推公式)
  - [3. 构建示例](#3. 构建示例)
  - [4. 查询子矩阵和](#4. 查询子矩阵和)
  - [5. 代码实现（C++）](#5. 代码实现（C++）)
  - 关键点总结

1. 定义原矩阵与前缀和矩阵

原矩阵 ：一个 m X n 的二维数组 matrix，元素为整数或浮点数。
前缀和矩阵 ：一个与 matrix 同尺寸的二维数组 prefix，其中 prefix[i][j] 表示从左上角 (0,0) 到 (i,j) 形成的子矩阵所有元素之和。

2. 构建前缀和矩阵的步骤

步骤 1：初始化前缀和矩阵

创建一个与原矩阵大小相同的二维数组 prefix。
通常将 prefix 的索引从 (0,0) 开始（与 matrix 对齐）。

步骤 2：递推公式

边界条件：

当 i=0 且 j=0 时：
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```
							prefix[0][0] = matrix[0][0]
```

当 i=0 时（第一行）：

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					prefix[0][j] = prefix[0][j-1] + matrix[0][j]

当 j=0 时（第一列）：

markdown 复制代码

					prefix[i][0] = prefix[i-1][0] + matrix[i][0]

一般情况 （i>0 且 j>0）：
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```
				prefix[i][j] = matrix[i][j] + prefix[i-1][j] + prefix[i][j-1] - prefix[i-1][j-1]
```
解释：

当前元素的值 matrix[i][j]，加上上方子矩阵的和 prefix[i-1][j]，加上左方子矩阵的和 prefix[i][j-1]，再减去重复计算的左上角子矩阵 prefix[i-1][j-1]。

3. 构建示例

假设原矩阵 matrix 如下：

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                                           [1  2  3]
                                           [4  5  6]
                                           [7  8  9]

逐行构建前缀和矩阵 prefix：

初始化 prefix[0][0]：
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```
							prefix[0][0] = matrix[0][0] = 1
```

第一行（i=0）：

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					prefix[0][1] &= prefix[0][0] + matrix[0][1] = 1 + 2 = 3 
                    prefix[0][2] &= prefix[0][1] + matrix[0][2] = 3 + 3 = 6

第一列（j=0）：

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					prefix[1][0] &= prefix[0][0] + matrix[1][0] = 1 + 4 = 5 
                    prefix[2][0] &= prefix[1][0] + matrix[2][0] = 5 + 7 = 12

一般位置（i>0 且 j>0）：
- prefix[1][1]：
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```
								5 + 5 + 3 - 1 = 12
```
- prefix[1][2]：
  markdown 复制代码
```
								6 + 12 + 6 - 3 = 21
```
- prefix[2][1]：
  markdown 复制代码
```
								8 + 12 + 12 - 5 = 27
```
- prefix[2][2]：
  markdown 复制代码
```
								9 + 27 + 21 - 12 = 45
```

最终前缀和矩阵：

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                                            [1  3   6 ]
                                            [5  12  21]
                                            [12 27  45]

4. 查询子矩阵和

构建前缀和矩阵后，计算子矩阵 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的和公式为：

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	Sum = prefix[x2][y2] - prefix[x1-1][y2] - prefix[x2][y1-1] + prefix[x1-1][y1-1]

示例：

计算子矩阵 (1,1) 到 (2,2)（即原矩阵中的 5,6,8,9）的和：

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	Sum = 45 - 6 - 12 + 1 = 28

5. 代码实现（C++）

cpp 复制代码

#include <vector>
using namespace std;

vector<vector<int>> buildPrefixSum(vector<vector<int>>& matrix) {
    int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
    vector<vector<int>> prefix(m, vector<int>(n, 0));

    // 初始化第一行和第一列
    prefix[0][0] = matrix[0][0];
    for (int j = 1; j < n; j++) 
        prefix[0][j] = prefix[0][j-1] + matrix[0][j];
    for (int i = 1; i < m; i++) 
        prefix[i][0] = prefix[i-1][0] + matrix[i][0];

    // 填充其他位置
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            prefix[i][j] = matrix[i][j] 
                          + prefix[i-1][j] 
                          + prefix[i][j-1] 
                          - prefix[i-1][j-1];
        }
    }
    return prefix;
}

关键点总结

时间复杂度：构建前缀和矩阵需 (O(mn))，查询子矩阵和仅需 (O(1))。
适用场景：频繁查询子矩阵和的场景（如动态规划、图像处理）。
边界处理 ：注意索引从 0 开始，避免越界访问。